Сопротивление материалов (стр. 6 )

Участок II ().

Для рассматриваемого участка условие равновесия правой части стержня будет иметь вид:

-N(II)x – P3 +P1 = 0,

откуда найдем

N(II)x= P1 - P3 = 12 – 10 = 2 кН.

Продольная сила N(II)x получилась со знаком плюс, т. е. стержень на втором участке испытывает растяжение.

Для других участков величины Nx находятся аналогично.

По результатам определения внутренних усилий в стержне строим эпюру продольных сил по длине стержня (рис. 3.7,в).

Рис. 3.7. Схема приложения нагрузок, эпюры усилий, напряжений и перемещений в стержне

Как видно из рисунка наибольшее усилие в стержне возникает на первом участке. Для определения площади поперечного сечения F2, запишем условие прочности стержня на этом участке (см. формулу 3.7)

,

откуда

.

Выполним проверку прочности стержня в пределах длины, где сечение равно F1 (участки III и IV). Наибольшее усилие 12 кН действует на IV участке. Тогда напряжения в стержне будут:

Прочность стержня на этом участке обеспечена.

Поскольку на участках I и II напряжения уже определены, то для построения полной эпюры напряжений по всей длине стержня необходимо еще найти напряжения на II и III участках.

Участок II ()

.

Участок III ()

.

Теперь можно построить эпюру нормальных напряжений по длине стержня (рис. 3.7,г).

После определения на всех участках напряжений можно приступить к определению перемещений поперечных сечений стержня. Эпюру перемещений следует строить, начиная от закрепленного конца.

Участок I ():

На первом участке перемещение сечения с координатой х можно определить по зависимости:

Обратим внимание, что перемещение сечения х = а получилось с отрицательным знаком, т. е. оно переместилось в противоположную сторону положительного направления оси х.

Абсолютное изменение длины стержня на первом участке будет:

,

т. е. стержень на этом участке получил укорочение на 0,4 мм.

При определении перемещений сечений на последующих участках следует учесть перемещения на всех предыдущих.

Участок II ()

.

Абсолютное изменение длины второго участка стержня будет:

-0,373 – (-0,4) = 0,027 мм .

Видно, что второй участок получил удлинение.

Участок III ()

Абсолютное изменение длины третьего участка стержня будет:

-0,323 – (-0,373) = 0,05 мм.

Третий участок получил удлинение.

Участок IV ()

Абсолютное изменение длины четвертого участка стержня будет:

-0,098 - (-0,323) = 0,225 мм.

Четвертый участок также получил удлинение.

На всех рассмотренных участках перемещения линейно зависят от координаты х, что позволяет по вычисленным перемещениям сечений, совпадающих с границами участков, построить эпюру перемещений.

На рис. 3.7,д изображена эпюра перемещений сечений по длине стержня.

Изменение длины всего стержня равно перемещению правого конца стержня, т. е. -0,098 мм. Эту же цифру получим, если для нахождения абсолютного изменения длины всего стержня алгебраически просуммируем удлинения на всех участках:

– 0,4+0,027+0,025+0,05 = – 0,098 мм.

3.3.2. Примеры расчетов при изменяющейся по длине стержня сечения и усилия

Построение всех видов эпюр для случая изменяющегося по длине стержня закона продольного усилия, сечения или упругих свойств материала стержня является более сложной задачей и рассматривается в следующих примерах.

Рассмотрим вначале случай, когда стержень имеет переменное поперечное сечение и нагружен только сосредоточенными силами.

П р и м е р 3.3

Для стального стержня переменного сечения в виде усеченного конуса (рис. 3.8) построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

Исходные данные: d1=2 10-2 м, d2=5 10-2 м, P1 =52 кН, P2 =100 кН. Модуль упругости Е=2 105 МПа, а = 0,6 м, b = 1,2 м.

Рис. 3.8. Вид стержня переменного сечения и схема приложения нагрузок

Р е ш е н и е.

Разбиваем стержень на 2 участка (I, II). Искомое усилие N(i)x в сечении направляем от сечения, (считая стержень растянутым), если получим знак «-» , то в действительности сила направлена к сечению (стержень сжат).

Участок I ():

Условие равновесия правой части стержня, оставшейся после рассечения, имеет вид

-N(I)x -P2 +P1=0,

откуда найдем N(I)x :

N(I)x= P1 – P2 =52 – 100 = –48 кН.

При определении напряжений и перемещений необходимо учитывать, что диаметр сечения , с координатой x, будет зависеть от неё. Из геометрических соображений можно получить выражение для диаметра dx и площади сечения Fx в таком виде:

(3.14)

Подставив числовые значения, получим

(3..15)

Напряжения в сечении на расстоянии x определяем по выражению

Из формулы видно, что напряжения в произвольном сечении нелинейно зависят от x, поэтому для построения эпюры напряжений необходимо рассчитать три, четыре ординаты на длине рассматриваемого участка стержня, например, . Здесь - бесконечно малая величина, позволяющая выявить скачек напряжений в зоне приложения сосредоточенной силы Р2.

Для определения перемещений сечений стержня воспользуемся формулой, (3.9):

(3.16)

Поскольку материал стержня не меняется по длине, то модуль упругости будет константой, (Еx = Е) и поэтому в формуле (3.16) его можно вынести за знак интеграла.

Подставив в (3.16) выражение для и проинтегрировав, получим зависимость перемещений сечений рассматриваемого участка стержня в виде:

Абсолютное изменение длины стержня на первом участке будет:

,

т. е. первый участок получает укорочение на 0,105 мм.

Участок II ().

Для рассматриваемого примера на втором участке (рис. 3.8) будем иметь:

-N(II)x +P1= 0,

откуда найдем N(II)x

N(II)x= P1 =52 кН.