Тема IV – Интегральное исчисление (стр. 10 )

ЗАДАЧИ

65. Вычислить интегралы, если возможно:

а); б); в)

66. Вычислить повторные интегралы:

а) ; б)

67. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной указанными линиями:

а);

б);

в);

г)

68. Изменить порядок интегрирования:

а); б);

в); г)

69. Вычислить:

а)

б)

в)

г)

23.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (замены переменных).

Пусть функция f(x;y) непрерывна в D. Рассмотрим замену переменных: . Уравнения границ области D в плоскости хОу преобразуются при замене переменных в уравнения границ области D* в плоскости uOv.

Пусть функции имеют в D* непрерывные частные производные первого порядка и определитель Якоби (якобиан) не равен 0.

Тогда справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

.

Наиболее часто используемая при вычислении двойных интегралов замена – переход к полярным координатам.

Напомним, что полярная система координат задается полюсом О и полярной осью. Как правило, полюс совмещается с началом координат в декартовой системе, а полярная ось – с положительным направлением оси Ох.

Положение точки М определяется ее расстоянием r от полюса, которое называется полярным радиусом, и углом j, образованным отрезком ОМ с полярной осью в направлении против часовой стрелки, который называется полярным углом.

Переход от декартовых координат к полярным осуществляется по формулам: .

Якобиан этого преобразования ,

следовательно, формула замены переменных принимает вид:

.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах пользуются тем же правилом сведения к повторному интегралу.

Именно, если область D ограничена лучами

и кривыми

, то есть луч, выходящий из полюса, пересекает область не более чем в двух точках, то

.

Пример. Вычислить , где область D – половина круга

Перейдем к полярным координатам. При этом

.

В частности, условие принимает вид .

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис.):

.

Таким образом,

.