Тема IV – Интегральное исчисление (стр. 5 )

;

IV.

Первый интеграл в сумме вычисляется просто:

Вычислить второй интеграл позволяет следующая рекуррентная формула:

.

В частности,.

Итак, сформулируем общее правило интегрирования рациональных дробей:

1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби, разделив числитель на знаменатель.

2. Правильную дробь разложить на простейшие рациональные дроби при помощи метода неопределенных коэффициентов.

3. Проинтегрировать полученное разложение.

Пример 1. .

Так как , то

.

Пример 2.

Так как , то

.

ЗАДАЧИ

56.а); б); в); г); д); е); ж); з); и)

19.3. Интегрирование тригонометрических выражений

Для вычисления интегралов вида :

если m – четное, n – нечетное, делают подстановку t=sinx,

если m – нечетное, n – четное, делают подстановку t=cosx,

и используют основное тригонометрическое тождество;

если m и n – четные положительные числа, используются тригонометрические тождества

, позволяющие свести задачу к одному из первых двух интегралов;

если m и n – отрицательные целые числа одинаковой четности, используются тригонометрические тождества:

.

Пример 1.

Пример 2. (14-й интеграл из таблицы)

;

преобразуем полученное выражение:

.

Таким образом, .

Аналогично вычисляется интеграл .

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Для вычисления интегралов вида

используются тригонометрические тождества:

;

;

.

Пример 5.

.

В общем случае для вычисления интегралов вида

,

где R – рациональная функция двух аргументов,

используется универсальная тригонометрическая подстановка

; при этом .

Если R – четная по совокупности аргументов, т. е.

R(-sinx, - cosx)=R(sinx, cosx), то удобнее использовать подстановку

; при этом .

Пример 6.

Подынтегральная функция от sinx и cosx не является четной по совокупности аргументов. Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

.

Пример 7.

подынтегральная функция от sinx и cosx является четной по совокупности аргументов. Действительно,

;

следовательно, применяя подстановку t = tgх, получаем:

.

ЗАДАЧИ

57. а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к); л); м); о); п); р); с)

19.4. Интегрирование простейших иррациональных выражений

Рассмотрим интеграл вида , где подынтегральная функция R рациональна относительно всех ее радикалов. Пусть n - наименьшее общее кратное показателей ki. Тогда заменой данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции.