Тема IV – Интегральное исчисление (стр. 1 )

ТЕМА IV – ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§17. Неопределенный интеграл

17.1. Понятие неопределенного интеграла

Основной задачей дифференциального исчисления является отыскание производной и дифференциала функции. На практике часто возникает обратная задача – восстановление функции по ее производной. Это основная задача интегрального исчисления.

§  Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если во всех точках этого интервала выполняется равенство F¢(х)= f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Например, F(x)=x4 есть первообразная для функции f(x)=4x3, так как (х4)¢=4х3. Более того, первообразными будут также и функции F(x)=x4+1, F(x)=x4-10 и вообще все функции вида F(x)=x4+С, где С – постоянная. Действительно,

(х4+С)¢= (х4)¢+(С)¢=4х3.

Теорема 17.1. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x)+С, где С – постоянное число.

§  Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех ее первообразных:

, где dF(x)=f(x)dx.

При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Теорема 17.2. Всякая непрерывная на (a;b) функция имеет на этом промежутке первообразную.

Пример. Проверить, верно ли найден интеграл:

Решение. Произвольное постоянное слагаемое С – непременный атрибут любого неопределенного интеграла. Чтобы проверить, верно ли найдена первообразная функция в правой части данного равенства, следует найти ее производную:

.

Поскольку полученная производная не совпадает с подынтегральной функцией , значит, интеграл найден не верно. (Заметим впрочем, что исправить ситуацию в данном случае легко, домножив правую часть данного равенства на : .)

ЗАДАЧИ

1. Проверить, верно ли вычислены интегралы:

а) ; б); в)

17.2. Свойства неопределенного интеграла. Табличное интегрирование.

1) ; 2) ;

Эти свойства непосредственно следуют из определения неопределенного интеграла.

3) ;

4) , если а = const;

5) Если , то , где u(x) – любая дифференцируемая функция.

Эти свойства, называемые также правилами интегрирования, следуют из свойств производной и легко доказываются дифференцированием.

Вообще, интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, что и выражают свойства 1, 2. Путем обращения таблицы производных можно получить большую часть таблицы основных интегралов, приведенной далее.

Таблица основных интегралов:

1. ; 7. ;

2. ; 8. ;

3. ; 9. ;

4. ; 10. ;

; 11. ;

5.; 12.;

6. ;

К основным (табличным) интегралам иногда также причисляют следующие:

13. ; 14. ;

15. ;

16. .

Последние четыре формулы в дальнейшем будут выведены при помощи основных методов интегрирования.

Методы интегрирования различных функций сводятся к приемам, приводящим искомый интеграл к табличному. В частности, применение для этого простейших свойств неопределенного интеграла (3-4) называют табличным (непосредственным) интегрированием.

Пример 1. .

Данный интеграл является табличным (№10) с точностью до постоянного множителя 2 перед х2:

Пример 2. .

Подынтегральная функция представляет собой сумму, значит, можем воспользоваться свойствами линейности интеграла (3,4):

.

Пример 3. .

Представим дробь под интегралом в виде суммы, разделив почленно числитель на знаменатель:

.

Пример 4. .

Применим простые тригонометрические преобразования:

ЗАДАЧИ

2. а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к); л); м); н); о); п); р); с); т); у); ф); х); ц)