Тема IV – Интегральное исчисление (стр. 3 )

14.; 15.; 16.; 17.;

18.; 19.; 20.; 21.;

22.; 23.; 24.; 25.; 26.; 27.; 28.

18.2. Метод интегрирования по частям

Третий общий прием интегрирования следует из формулы дифференцирования произведения двух функций.

Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы по x, тогда:

.

Интегрируя обе части последнего равенства, получаем: , или

Это и есть формула интегрирования по частям.

При интегрировании по частям вычисление данного интеграла сводится к вычислению двух более простых интегралов:

1. (без учета С); 2..

Задача интегрирования по частям сводится к удачному разбиению подынтегрального выражения, так, чтобы указанные два интеграла можно было легко вычислить.

Можно рекомендовать правило для вычисления по частям некоторых типов интегралов (ниже Р(х) – многочлен, а - число):

1. , (k ³ 1) тогда ;

2. , (k ³ 1) тогда ;

3. , (k ³ 1) тогда ;

4. , (k ³ 0) тогда

(или сводится к типу 1 заменой t=lnx);

5. , (k ³ 0) тогда

(то же для arcsinx, arccosx).

Замечание. Если выбрано неподходящее разбиение, то или оказывается проинтегрировать сложно или вообще невозможно. Поэтому если подынтегральное выражение можно упростить с помощью какой-либо замены, следует это сделать, прежде чем применять метод интегрирования по частям.

Пример 1.

Примем ,

,

Подставляя в формулу интегрирования по частям, имеем:

.

Пример 2.

Примем , тогда откуда

.

Пример 3. (15-й интеграл из таблицы)

,

,

Тогда

.

В правой части полученного равенства фигурирует искомый интеграл (такие интегралы называются возвратными). Переносим его в левую часть равенства:

, откуда:

.

Замечание. Также возвратными являются интегралы вида . Двукратным последовательным интегрированием по частям они сводятся к первоначальным независимо от разбиения.

ЗАДАЧИ

29. Вычислить методом интегрирования по частям:

а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к)

30.Какое действие (метод интегрирования) следует применить в первую очередь для вычисления интеграла:

а); б); в); г); д); е); ж); з)?

Вычислить подходящим методом:

31.; 32.; 33.; 34.; 35.; 36.; 37. ; 38.; 39.; 40.; 41.; 42.; 43.; 44.;
45.; 46.; 47.; 48.; 49.; 50.; 51. 52.; 53.; 54..