Тема IV – Интегральное исчисление (стр. 9 )

Замечание. Несобственный интеграл II рода может быть сведен к несобственному интегралу I рода при помощи подстановки , где х=с – точка разрыва II рода подынтегральной функции.

§23. Двойной интеграл

23.1. Понятие двойного интеграла

Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных является двойной интеграл. Если к определенному интегралу приводит задача о площади криволинейной трапеции, то к двойному интегралу приводит задача об объеме цилиндрического тела.

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу – замкнутой областью D плоскости хОу, с боков – цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит . Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V.

Для этого разобьем область D произвольным образом на n областей Di, площади которых равны , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) di. Тогда и тело V разбивается на цилиндрические столбики с основаниями Di (один из них изображен на рисунке).

Возьмем на каждой подобласти Di точку Mi(xi;yi) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием и высотой . Объем этого цилиндра примерно равен объему цилиндрического столбика. Таким образом, получаем: ,

причем это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры участков разбиения Di. Обозначив - диаметр разбиения, за объем цилиндрического тела принимаем предел, к которому стремится полученная сумма при (при этом каждый участок разбиения стягивается в точку):

.

§  Для произвольной функции f(x;y), определенной в области D, если такой предел существует и не зависит от способа разбиения и выбора внутренних точек Mi, он и называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D:

.

В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D, D – областью интегрирования, х и у – переменными интегрирования, dxdy – элементом площади.

Таким образом, можем сформулировать

Утверждение (геометрический смысл двойного интеграла):

Величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела: .

Это утверждение можно использовать и для нахождения площади S плоской области D, поскольку объем прямого цилиндра высоты 1 численно равен площади основания: .

Кроме того, как в случае определенного интеграла, имеет место физический смысл двойного интеграла: масса плоской пластинки D с переменной плотностью равна двойному интегралу от плотности: .

Достаточное условие интегрируемости функции двух переменных также аналогично достаточному условию существования определенного интеграла:

Теорема 23.1. Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

23.2. Свойства двойного интеграла

Вообще, процесс построения двойного интеграла практически дословно повторяет процедуру построения определенного интеграла, поэтому аналогичны и их свойства.

1.

2.

3. Если область D разбить на две подобласти D1 и D2, то

4. Если в области D , то

5. Если функция непрерывна в области D площадью S и , то

6. Если функция непрерывна в области D площадью S, то в этой области существует точка (х0;у0) такая, что

.

23.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция f(x;y) непрерывна в области D, которая представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми х=а и x=b и кривыми и , причем . Такую область называют правильной в направлении Оу.

Тогда двойной интеграл от функции f(x;y) по области D может быть вычислен по формуле:

.

Правую часть этой формулы называют повторным интегралом от функции f(x;y) по области D. При этом называется внутренним интегралом. Для вычисления повторного интеграла сначала берется внутренний интеграл как обычный определенный интеграл при x=const, затем результат интегрируют по х в пределах от а до b.

Пример.

Если область D ограничена прямыми у=с и у=d и кривыми и , причем

(т. е. область правильная в направлении Ох) то

.

Для вычисления двойного интеграла по произвольной области D, ее следует разбить на правильные части, двойной интеграл по каждой из которых можно свести к повторному, и воспользоваться аддитивностью двойного интеграла.

Пример. Вычислить , где область D ограничена линиями: .

Изобразим область интегрирования на чертеже. Она правильная в направлении Ох, поэтому внешний интеграл будем брать по у, переписав уравнения границ области:

.

Тогда:

.

Для вычисления данного интеграла можно было выбрать и другой порядок интегрирования, однако, поскольку верхняя граница области интегрирования задана кусочно (нет единого явного уравнения границы ), то область пришлось бы разбить прямой х=1 на две правильные в направлении Оу части:

.

Замечание. Порядок интегрирования может выбираться исходя как из формы области интегрирования, так и из вида самой функции. Например, функцию удобнее сначала интегрировать по х.