Тема IV – Интегральное исчисление (стр. 4 )

§19. Интегрирование различных функций

19.1. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Для вычисления неопределенных интегралов вида

, и т. п.

необходимо выполнить следующие действия:

1) выделить в квадратном трехчлене полный квадрат:

;

2) выполнить в интеграле подстановку ;

3) получившийся интеграл представить в виде суммы двух интегралов, один из которых является табличным, а другой – вычисляется при помощи замены .

Пример 1.

.

Пример 2.

.

ЗАДАЧИ

55.а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к); л); м); н); о); п); р).

19.2. Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией называется такая функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов:

Если m<n, то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной.

Заметим, что многочлены являются также рациональными функциями, поскольку всякая постоянная величина может рассматриваться как многочлен нулевой степени: С=Сх0.

Напомним, что всякий многочлен Pn(x) c действительными коэффициентами можно представить в виде

,

где x1,…,xl – корни многочлена, т. е. решения уравнения Pn(x)=0,

степень ki в разложении многочлена – кратность корня хi ,

,

все квадратные трехчлены не имеют корней, т. е. .

Задача интегрирования многочленов не представляет трудностей, поэтому рассмотрим интегрирование алгебраических дробей (т. е. рациональных функций со степенью знаменателя больше нуля).

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби, разделив числитель на знаменатель:

.

Пример. .

Поскольку дробь неправильная, выделим целую часть. Делить будем в столбик, примерно так, как делят числа: так, чтобы все время уничтожалась наивысшая степень делимого, для этого каждый раз элемент частного получается делением старшей степени делимого на старшую степень делителя:

Таким образом, . Следовательно,

.

Делением в столбик можно пользоваться при любой степени знаменателя. Справедливости ради стоит отметить, что если знаменатель первой степени, как в приведенном примере, может оказаться проще сделать замену (в данном случае t=x+2), так что числитель будет делить на знаменатель почленно.

§  Правильные рациональные дроби вида:

I.; III.;

II. ; IV.;

где A,c,M,N,p,q – действительные числа, называются простейшими рациональными дробями I, II, III, IV типов.

Теорема 19.1. (первая об отделении)

Всякую правильную рациональную дробь вида

можно представить единственным образом в виде суммы:

где A – некоторое действительное число.

Теорема 19.2. (вторая об отделении)

Всякую правильную рациональную дробь вида

можно представить единственным образом в виде суммы:

где M, N – некоторые действительные числа.

Последовательно применяя теоремы об отделении, любую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители:

,

можно представить в виде суммы простейших дробей:

Для нахождения неопределенных коэффициентов A1,А2,…,M1,N1,… можно применить метод сравнения коэффициентов:

-  В правой части равенства (*) приводят дроби к общему знаменателю Qn(x), в результате получают тождество , где Sn-1(x) – многочлен с неопределенными коэффициентами.

-  Так как в полученном равенстве знаменатели равны, то равны и числители: .

-  По теореме о равенстве многочленов приравнивают коэффициенты в обеих частях последнего тождества, получив систему n линейных уравнений, из которой и определяют искомые коэффициенты.

Также для нахождения неопределенных коэффициентов можно применять метод отдельных значений аргумента: в равенстве аргументу х придают конкретные значения, что превращает это равенство в линейное уравнение относительно искомых коэффициентов. Обычно при этом полагают вместо x значения корней многочлена Qn(x).

Пример 1.

Приравнивая числители, получаем: х+1=А(х-1)2+Вх+Сх(х-1).

Положим х=0, получим А=1; при подстановке х=1 получим В=2.

Для нахождения С возьмем любое значение, например, х=-1, получим 0=4+2С-2, откуда С=-1. Таким образом, разложение имеет вид:

.

Пример 2.

Приравнивая числители и приводя подобные слагаемые в правой части, получаем: 1=х2(А+В)+Сх+2А. Отсюда получаем систему уравнений:

Следовательно, А=0,5, В=-1,2, С=0, и искомое разложение имеет вид: .

Таким образом, для того, чтобы проинтегрировать правильную алгебраическую дробь, следует разложить ее на элементарные дроби и проинтегрировать каждое слагаемое:

I. ;

II. ;

III.