Тема IV – Интегральное исчисление (стр. 7 )

(это свойство называется аддитивностью определенного интеграла)

6. Если с – постоянное число и функция интегрируема на [a;b] , то

7. Если функции и интегрируемы на [a; b], то

8. Если и интегрируема на [a; b], то

9. Если и эти функции интегрируемы на [a; b], то

10. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения интегрируемой функции на [a; b], то

Теорема 20.2. («о среднем»): Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка такая, что .

Геометрически это означает, что для неотрицательной непрерывной функции существует такая точка с, что площадь криволинейной трапеции в точности равна площади прямоугольника высоты f(c):

Пусть интегрируема на отрезке [a; b]. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Заметим, что эта функция непрерывна. Более того, справедлива

Теорема 20.3. Интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции, т. е. .

Доказательство: Пусть x – точка непрерывности функции . Вычислим производную функции по определению:

.

Поскольку функция непрерывна в точке x , а , то можно считать, что непрерывна на отрезке (или , если ), следовательно, по теореме о среднем, на этом отрезке существует точка такая, что .

Таким образом,

(так как при ), что и требовалось доказать.

Если же х – точка разрыва 1 рода функции , то производной функции в этой точке не существует, но аналогичные рассуждения справедливы для лево - и правосторонней производной.

Тот факт, что интеграл с переменным верхним пределом, является одной из первообразных подынтегральной функции, позволяет вычислять определенный интеграл при помощи неопределенного:

Теорема 20.4. (формула Ньютона-Лейбница).

Пусть функция непрерывна на [a; b] и . Тогда

.

Доказательство. Поскольку - первообразная функции , то при некотором значении константы С. Заметим, что , следовательно, . Таким образом,

,

что и требовалось доказать.

§21. Вычисление и приложения определенного интеграла

21.1. Применение формулы Ньютона-Лейбница

Если первообразная от непрерывной подынтегральной функции может быть выражена в элементарных функциях, то для вычисления определенного интеграла удобно применять формулу Ньютона-Лейбница.

Пример. Вычислить

Найдем первообразную подынтегральной функции:

и применим формулу Ньютона-Лейбница:

.

Если подынтегральная функция кусочно-непрерывна на отрезке интегрирования, то есть имеет конечное число точек разрыва первого рода, то следует воспользоваться свойством аддитивности определенного интеграла, представив его в виде суммы интегралов по интервалам непрерывности.

ЗАДАЧИ

59. Как вы думаете, существует ли ? Обоснуйте ответ.

60. Вычислите определенные интегралы:

а); б); в); г); д).

21.2. Замена переменной в определенном интеграле

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], и для нахождения неопределенного интеграла удобно применить подстановку x=j(t).

Теорема 21.1 . Пусть: 1) функция j(t) непрерывна вместе со своей производной j´(t) на отрезке a £ t £ b,

2) множеством значений функции j(t) при является отрезок ,

3) j(a)=a, j(b)=b.

Тогда .

Пример. Вычислить

Положим ;

при x=0 имеем t=4; при x=2 t= 0. Таким образом,

ЗАДАЧИ

61. а); б); в); г)

21.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

.

Пример. Найти

Обозначим , тогда .