Тема IV – Интегральное исчисление (стр. 2 )

3. а); б); в);

г); д); е); ж);

§18. Основные методы интегрирования

18.1. Интегрирование методом подстановки

Метод подстановки (или замены переменной) заключается в том, что независимую переменную х заменяют непрерывной и дифференцируемой функцией x = j(t). Тогда dx = j¢(t)dt и

.

При этом необходимо помнить, что после подстановки все подынтегральное выражение должно зависеть только от новой переменной. Идея подстановки состоит в том, чтобы свести интеграл к более простому и ранее изученному (например, табличному).

Часто бывает удобно, выбрав замену t=t(x), не выражать x через t, а продифференцировать эту замену: dt=t¢(x)dx, выражая далее dx из полученного соотношения.

После того, как искомый интеграл вычислен, необходимо вернуться к старой переменной (выполнить обратную замену).

Пример 1.

Сделаем замену: , откуда . Таким образом,

.

Замечание. Рассмотрев в общем виде замену , легко доказать правило линейной замены в интеграле:

если , то .

Пример 2. ,

Пример 3. ;

Пример 4. .

При вычислении любого неопределенного интеграла следует ответить для себя на следующие вопросы:

- является ли интеграл табличным? Может быть, он отличается от табличного лишь линейной заменой?

- если нет, может ли интеграл быть упрощен, то есть можно ли представить подынтегральную функцию в виде суммы?

Если ответ на оба вопроса отрицательный, стоит попробовать выполнить замену переменной.

Вопрос выбора «хорошей» замены решается не всегда просто. В дальнейшем (§19) будут рассмотрены стандартные подстановки для интегрирования некоторых выражений специального вида. Но если нет особых соображений, обычно при выборе замены удобно бывает руководствоваться принципами:

- заменять надо то, что не нравится («эстетический принцип»; обратите внимание: «не нравится» не потому, что мешает вычислить интеграл, а именно из эстетических соображений – например, корень, логарифм, знаменатель дроби);

- заменяемая функция t=t(x) не должна быть сложной (впрочем, иногда это допускается, если внутренняя функция линейная);

- если под интегралом находится сложная функция, следует заменить ее аргумент.

Пример 5. .

Сделаем замену: . Тогда

Пример 6.

Замена: . Тогда

.

(Модуль в ответе не поставлен, поскольку .)

Пример 7.

Замена: . Тогда

.

Пример 8.

Замена: . Тогда

.

Полученный интеграл не является табличным и не упрощается, поэтому сделаем еще одну замену: . Тогда

.

ЗАДАЧИ

4. Вычислить интегралы, применив правило линейной замены:

а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к); л); м); н); о); п); р); с); т); у); ф); х); ц)

5. Вычислить, применив метод замены переменной:

а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к); л); н); о); п); р); с); т)

Вычислить подходящим методом:

6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.; 13.;