Тема IV – Интегральное исчисление (стр. 8 )

.

21.4. Интегрирование четных и нечетных функций

Утверждение. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [-a;a].

Если f(x) – нечетная функция, то ;

Если f(x) – четная функция, то .

Действительно, .

Если f(x) – нечетная функция, т. е. f(-x)= -f(x), то

, следовательно, .

Если f(x) –четная функция, т. е. f(-x)=f(x), то

, следовательно, .

Пример. Вычислить

Произведение четной функции x2 и нечетной функции sin2x является нечетной функцией; интеграл в данном примере берется по симметричному интервалу. Следовательно, .

ЗАДАЧИ

62.а); б); в); г)

21.4. Приложения определенного интеграла

Рассматривая задачу о площади криволинейной трапеции, мы доказали следующее утверждение:

Утверждение (геометрический смысл определенного интеграла):

Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции под графиком этой функции:

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох, то ее площадь находится по формуле

Сходным образом можно рассмотреть задачу о работе переменной силы F(x) при перемещении материальной точки М вдоль оси Ох из точки х=а в точку x=b (a<b). Для этого разобьем отрезок [a; b] на частичные отрезки. Если длина отрезка [xi-1; xi] достаточно мала, то сила F(x) на этом отрезке изменяется незначительно и ее можно приближенно считать постоянной и равной значению F(x) в произвольной точке этого отрезка ci. Поэтому работа при перемещении точки вдоль частичного отрезка [xi-1; xi] приближенно равна произведению , а работа силы на всем отрезке [a; b] приближенно равна интегральной сумме:

.

Это приближение тем точнее, чем меньше длина каждого частичного отрезка. Поэтому справедливо

Утверждение (физический смысл определенного интеграла):

Работа переменной силы, величина которой есть непрерывная функция F(x), действующей на отрезке [a;b], равна определенному интегралу от величины силы по отрезку [a; b]: .

Аналогично, например:

- путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t=a до t=b со скоростью v(t): ;

- масса m неоднородного стержня переменной плотности r(х) на отрезке [a;b]: ;

- длина l дуги кривой у=f(x) от точки х=а до точки x=b:

,

или, если уравнение кривой задано параметрически: , то .

ЗАДАЧИ.

63. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а); б)

в) г)

§22. Несобственные интегралы

Определенный интеграл , где промежуток [a; b] конечный, а подынтегральная функция f(x) определена во всех точках отрезка [a; b] (а следовательно, ограничена на этом отрезке), называют еще собственным интегралом.

22.1. Несобственный интеграл I рода

- это интеграл с бесконечным пределом интегрирования.

§  Пусть функция f(x) непрерывна на луче [a; +¥). Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом I рода: .

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично, .

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется формулой

, где с – произвольное число.

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Примеры. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость

1)

, интеграл сходится.

2) ;

предел не существует, следовательно, интеграл расходится.

3) ,

интеграл расходится.

ЗАДАЧИ

64. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к); л); м); н)

22.2. Несобственный интеграл II рода

- это интеграл от неограниченной на конечном отрезке функции.

§  Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b) и имеет в точке b разрыв II рода: . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом II рода: .

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке х=а, то полагают .

Если функция терпит бесконечный разрыв в средней точке , то полагают , и интеграл слева называют сходящимся, если оба интеграла в правой части равенства сходятся.