Тема IV – Интегральное исчисление (стр. 6 )

Пример 1. .

Положим . Тогда

.

Интегралы вида

вычисляются при помощи замены .

Пример 2. .

Положим . Тогда

.

Для вычисления интегралов вида

, можно применять подстановку x=a×sint ;

, можно применять подстановку x=a×tgt ;

, можно применять подстановку .

Пример 3. Найти .

.

ЗАДАЧИ

58. а); б); в); г); д); е); ж)

Заключение.

Операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования. Не всегда удается подобрать правило для интегрирования какой-либо функции, или же выбранный способ интегрирования может оказаться излишне громоздким. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом, а выбор наилучшего, более короткого и легкого способа интегрирования, требует изобретательности и навыка в применении рекомендуемых приемов интегрирования.

Более того, есть функции, первообразные для которых, хотя и существуют (как известно, для любой непрерывной функции существует первообразная), но не могут быть выражены через элементарные функции. Такие функции называют неквадрируемыми, и говорят, что интеграл от такой функции «не берется». Приведем примеры «неберущихся» интегралов, которые имеют большое значение в приложениях:

- интеграл Пуассона (теория вероятностей),

- интегральный логарифм (теория чисел),

- интегралы Френеля (физика),

- интегральные синус и косинус,

- интегральная показательная функция.

§20. Определенный интеграл

20.1. Задача о площади криволинейной трапеции

§  Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная неотрицательная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью Ох, сбоку – прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Найдем площадь этой трапеции. Для этого отрезок [a; b] разобьем точками на n частичных отрезков [x0; x1], [x1; x2],… [xn-1; xn]. В каждом частичном отрезке [xi-1; xi] (i=1,…,n) возьмем произвольную точку сi и вычислим в ней значение функции .

 

Умножим значение функции на длину соответствующего частичного отрезка . Полученное произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой .

Составим сумму всех таких произведений:

.

Эта сумма равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна искомой площади криволинейной трапеции: .

С уменьшением всех величин (очевидно, при этом увеличивается количество частичных отрезков) точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой возрастает. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает, а :

.

20.2. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Рассмотрим теперь произвольную функцию , определенную на отрезке [a; b] и проделаем те же действия. Сумма вида называется интегральной суммой функции на отрезке [a; b], число - диаметром разбиения.

§  Если интегральная сумма имеет предел S, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора средних точек сi, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке [a; b] и обозначается :

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, отрезок [a; b] – областью (отрезком) интегрирования.

Теорема 20.1. Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то определенный интеграл существует (говорят, что функция интегрируема на этом отрезке).

20.3. Свойства определенного интеграла

Из определения определенного интеграла следует ряд свойств:

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: ;

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: ;

3. Для любого действительного числа с: ;

4. ;

5. Если функция интегрируема на [a; b] и a<c<b, то