Диагностика пучков заряженных частиц (стр. 11 )

Такой подход очевидно корректен, пока это время много меньше времени растекания:

или .

Последнее соотношение представляет собой ограничение на допустимую величину вносимого сопротивления.

У ДТИ первого поколения (1975) вносимое сопротивление было около 0.03 Ом (), рабочая длина датчика 50 мм и апертура 100 мм. Время растекания оказалось равным 150 нс. Согласно же оценке (5.15) время растекания в этом случае должно иметь величину около 160 нс. Таким образом, модель длинного датчика работает, даже если рабочая длина датчика по величине сравнима с его апертурой.

Точное решение задачи о растекании тока изображения

в рамках модели длинного датчика

Пусть камера представляет собой тонкостенный цилиндр с радиусом и поверхностной проводимостью . Снаружи аксиально этой камере имеется проводящий экран с радиусом . Пучок распространяется внутри камеры (область 1) вдоль её оси Y. Граничные условия однородны по Y, так что векторный потенциал, создаваемый током пучка, и ток изображения будут иметь только Y-компоненту. Опуская выкладки, приходим к уравнению в терминах амплитуд азимутальных гармоник:

. (5.16)

Теперь граничные условия неоднородны по радиусу r. Известно, что решение неоднородного уравнения (5.16) с неоднородными граничными условиями является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения Бесселя с неоднородными граничными условиями (свободное решение) и частного решения неоднородного уравнения с однородными граничными условиями (вынужденное решение ):

– область (1);

– область (2).

Здесь , – функции Бесселя и Неймана, соответственно (решения однородного уравнения Бесселя).

Коэффициенты , , определяются граничными условиями

при , при .

Непрерывность векторного потенциала () и последнее соотношение следует из

.

Соотношение следует из

, .

Решение системы уравнений для коэффициентов , , даёт

.

С точки зрения задачи о растекании тока изображения, интерес представляет то новое в распределении , что обусловлено конечной проводимостью стенок камеры. Введём «коэффициент передачи» m-й азимутальной гармоники следующим образом: . Тогда

. (5.17)

Здесь – постоянные времени растекания. При

, .

Из выражения (5.17) видно, что растекание имеет «индуктивный» характер – это функция передачи тока генератора тока в сопротивление шунтированное индуктивностью. Более того, полная индуктивность растекания есть результат параллельного соединения «внутренней» (1) и «внешней» (2) индуктивностей растекания:

При и, следовательно, . Последнее выражение при в точности совпадает с оценкой (5.15), полученной выше с помощью модели виртуального скин-слоя. Влияние на величину постоянной времени растекания «внешней» индуктивности растекания можно сделать достаточно малым, поместив в область (2) ферритовые кольца (о поведении феррита на высоких частотах см. в разд. 7).

В силу индуктивного характера растекания, наличие собственной индуктивности у линии распространения тока изображения приводит лишь к некоторому увеличению постоянных времени растекания. В той же степени электрический радиус ДТИ увеличивается по сравнению с его геометрическим радиусом (). Если – собственная индуктивность плюс индуктивность нагрузки каждой из n линий распространения тока изображения, то электрический радиус ДТИ определяется следующим соотношением: .

Практический эффект растекания тока изображения

Пусть пучок имеет форму ступеньки, т. е. . Выражение (5.16) для указывает на следующий вид зависимости от времени амплитуды m-й азимутальной гармоники тока изображения (при фиксированном значении y, здесь – при ): . Соответственно выражение (5.9) для азимутальной плотности тока изображения при тонком единичном пучке приобретает вид

. (5.18)

Как видно из выражения (5.18), отмеченный выше не экспоненциальное затухание сигнала тока изображения обусловлен тем, что здесь имеются все азимутальные гармоники, каждая из которых имеет свою постоянную времени растекания.

Если , то можно пренебречь отличием члена от единицы. Если при этом (или если «внешняя» индуктивность растекания много больше «внутренней»), то (или ). В этом случае выражение (5.18) суммируется и приобретает вид (здесь, для определённости, принято ):

.

Здесь имеет место подобие: распределение , зарегистрированное спустя время после прохождения фронта ступенчатого пучка, имеет тот же вид, что и распределение на фронте пучка с радиальным смещением . В этом случае при вычислении поперечных параметров пучка растекание может быть учтено заменой значения электрического радиуса ДТИ на .

На рис. 5.3 изображена эволюция азимутальных плотностей тока изображения на разных азимутах при токе пучка имеющем форму ступеньки, рассчитанная согласно следующему выражению (, , ):