Диагностика пучков заряженных частиц (стр. 9 )

Чтобы измерить азимутальное распределение тока изображения, следует тем или иным способом включить нагрузки в разрыв вакуумной камеры. Присутствие же внесённого сопротивления приводит к растеканию тока изображения – спустя некоторое время после пролёта фронта импульсного тока пучка ток изображения распределяется равномерно по азимуту камеры и информация о положении пучка пропадает. На рис. 5.2 изображены эпюры сигналов с одного из выходов датчика тока изображения (ДТИ) при различных смещениях ступенчатого «пучка» (роль пучка играет импульс тока в проводе, натянутом внутри ДТИ вдоль его оси). Видно, что растекание имеет не экспоненциальный характер и что величина постоянной времени растекания зависит от смещения пучка. Очевидно, чтобы построить ДТИ для измерения положения пучка, необходимо определить характер эволюции азимутального распределения тока изображения.

Задача разработки «прозрачного» датчика положения и заряда одиночного сгруппированного наносекундного пучка в канале транспортировки пучков из накопителя ВЭПП-3 в накопитель ВЭПП-4М (ИЯФ) возникла в связи с необходимостью заменить использовавшиеся в качестве датчиков положения центра тяжести пучка не вполне «прозрачные» вторично-эмиссионные датчики [4]. Значительное количество последних (более 10) приводило к заметным потерям тока пучка и увеличению его фазового объёма. Кроме того, помимо положения пучка, полезно знать его полный заряд в той или иной части канала транспортировки для определения эффективности проводки пучка по каналу.

Канал между накопителями ВЭПП-3 и ВЭПП-4М предназначен для транспортировки пучков электронов и позитронов с энергией 1.8 ГэВ (). Протяжённость трассы около 75 м. Пучки представляют собой однократные импульсы тока длительностью около 1 нс. Число частиц в пучке до . Частота циклов инжекции пучков в канал невелика –  Гц, поэтому дорога каждая инжекция.

В случае короткого однопролётного пучка электростатический датчик положения плох из-за больших размеров, несогласованности и как следствие недостаточной широкополосности. Пуговичный датчик является дифференцирующим и поэтому непригодным для измерения заряда пучка. Согласованный полосковый датчик должен иметь приличную длину и несколько вакуумных вводов. Наиболее подходящим для решения поставленной задачи по электрическим и технологическим соображениям является датчик тока изображения.

Азимутальное распределение тока изображения в стенках

идеально проводящей круглой цилиндрической камеры канала

Практически всегда есть возможность иметь сечение камеры канала круглым в области датчика. В этом случае решение задачи об азимутальном распределении тока изображения наиболее просто и наглядно.

Пусть вакуумная камера, вдоль оси Y которой движется пучок заряженных частиц, представляет собой идеально проводящий цилиндр с радиусом . Ток изображения, наводимый пучком в стенках камеры, определяется векторным потенциалом , создаваемым током пучка :

. (5.1)

Здесь , . В цилиндрических координатах уравнение (5.1) приобретает вид

. (5.2)

Пусть ток пучка имеет только Y-компоненту и пусть его зависимость от ( имеет вид гармоники (ниже этот множитель опущен). Коль скоро граничные условия ( при ) однородны по Y, вынужденное решение уравнения (5.2) имеет только компоненту Y векторного потенциала. Вынужденное решение ищется в виде разложения Фурье в ряд по азимуту :

. (5.3)

Все эти , , в выражении (5.3) удовлетворяют следующему уравнению:

. (5.4)

Здесь – коэффициенты разложения в ряд Фурье по азимуту . Введём параметр (здесь v – скорость движения пучка, – релятивистский фактор). Уравнение (5.4) сводится к неоднородному уравнению Бесселя:

. (5.5)

Известно частное решение уравнения (5.5) с однородными граничными условиями . Здесь – корни уравнения , а – коэффициенты разложения в ряд Фурье– Бесселя:

.

Подстановка с использованием известных соотношений для функций Бесселя даёт

. (5.6)

Здесь , – функции Бесселя и Неймана соответственно. Магнитное поле

.

Здесь , а . Таким образом, вблизи стенок камеры не равно нулю только :

, .

Дифференцирование выражения (5.6) по r, с учётом известного соотношения для функций Бесселя (здесь – параметр), даёт

.

Заменив, наконец, функции Бесселя мнимого аргумента (так как ) на модифицированные функции Бесселя согласно соотношению , получим действительное выражение

.

Итак, искомое выражение для азимутальной плотности тока изображения в общем случае имеет вид

. (5.7)

Напомним, что это амплитуда гармоники тока пучка. Если же пучок представлен точечным зарядом, движущимся по оси камеры, выражение (5.7) приобретает вид . Этот результат был использован выше в разд. 1 для расчёта предела пространственного и временного разрешения электромагнитных датчиков.

Здесь и ниже из соображений удобства принято что

.

Основной интерес представляет асимптотика выражения (5.7) при . Это условие имеется либо в случае пучка, продольный размер которого много больше апертуры камеры (), либо оно удовлетворяется в силу релятивизма пучка (). В нашем случае , . Принимая во внимание соответствующую асимптотику функций Бесселя, получаем