Информатика и математика (стр. 10 )

Следовательно, чтобы получить искомую площадь S, достаточно
определить площадь S1 для функции и вычесть из нее площадь
S2 для функции , т. е.

кв. ед.

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания:

1. Вычислить пределы:

1.1. .	1.2. .
1.3. .	1.4. .
1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .

2. Найти первые производные от функций:

2.1. .	2.2. .
2.3. .	2.4. .
2.5. .	2.6. .
2.7. .	2.8. .
2.9. .	2.10. .

& Литература: 4, 15, 17, 26.

Тема 12. Математическая комбинаторика

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих применение комбинаторных формул в задачах.

1. Упростить выражение .

Было бы неправильным просто вычислить все факториалы, после чего
перейти к арифметике – слишком большие числа. Используем, где возможно,
расчленение факториалов:

; ;

. Следовательно, .

2. Упростить выражение .

Напомним, что ; и , тогда

.

3. При расследовании хищения установлено, что у преступника семизначный телефонный номер, в котором ни одна цифра не повторяется. Следователь, полагая, что перебор этих номеров потребует одного-двух часов, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он?

Известно, что любое число может быть записано с использованием десяти цифр – 0, 1, ..., 9. Так как телефонные номера обычно не начинаются с 0, то задача состоит в вычислении числа комбинаций из девяти различных цифр по 7. Очевидно, что это – размещение по семи различным местам семи из девяти различных цифр, т. е.

номеров.

Даже если на проверку одного номера тратить 1 минуту, то на все
уйдет 3024 часа или 126 суток. Таким образом, следователь – не прав.

4. Сколькими способами семь разных учебников можно поставить
на полке в один ряд?

Так как порядок учебников по условию – значения не имеет, то имеем задачу о числе перестановок семи разных книг. Следовательно,

способов.

5. В штате прокуратуры областного центра имеется пять следователей. Сколькими способами можно выбрать двух из них для проверки оперативной информации о готовящемся преступлении?

Поскольку не имеет значения, какой сотрудник будет первым, а какой – вторым, т. е. необходим выбор двух разных сотрудников из пяти возможных, то это – задача о сочетаниях из пяти человек по два. Следовательно:

способов.

6. В розыгрыше первенства по футболу среди вузов принимает участие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр?

Данная задача – о числе выборок из 16 по 2. Таким образом,

игр.

7. Изменим условия примера 3. Пусть стало известно, что в телефонном номере преступника встречаются только цифры 2, 4, 5 и 7. Насколько уменьшится перебор всех возможных номеров?

Таким образом, в семизначном телефонном номере встречаются только четыре цифры, остальные три, очевидно, повторяют какие-то из имеющихся. Следовательно, имеем задачу о размещениях из четырех цифр по семи, т. е. с повторениями.

Решение:

(повт.) = 47 =16384 номера.

Перебрать все эти номера можно примерно за 11 суток, что почти в 10 раз меньше, чем в примере 3.

8. Сколькими способами можно разложить в ряд две зеленые и четыре красные папки?

Так как названия папок не указываются, а критерием является цвет, то задача состоит в расположении шести цветных папок двух цветов. Имеем случай перестановок с повторениями. Следовательно,

способами.

9. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «какао», чтобы получились все возможные различные наборы букв?

В заданном слове – 5 букв, причем «к» и «а» повторяются по два раза, а «о» встречается один раз. Таким образом, способов.

10. В кондитерской имеется пять разных видов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырех пирожных?

Ясно, что можно выбрать как различные виды пирожных, так и повторяющиеся и даже составить набор из четырех одинаковых пирожных. Так как порядок следования пирожных в наборе не имеет значения, то эта задача относится к классу сочетаний с повторениями.

Следовательно, (повт.) способами.

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания:

1. Вычислить .

2. С помощью правила симметрии вычислить:

.

3. В учебной группе студентов.

Сколькими способами их можно разбить на бригады по p1 человек?

& Литература: 2, 3, 4, 6, 17, 20, 26.

Тема 13. Элементы теории вероятности

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих вычисление вероятностей событий и анализ дискретных случайных величин.

1. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение – четырем.

Каждый кубик при бросании дает одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Так как оба кубика бросаются независимо, то по теореме умножения общее число исходов: 6 · 6 = 36.

Ясно, что удовлетворить условию задачи возможно только двумя
сочетаниями очков: 1, 4 или 4, 1. То есть только два исхода благоприятствуют условию задачи. Следовательно, по определению вероятности:

.

2. В коробке имеется 15 шаров, из которых 10 – окрашены, а 5 – прозрачные. Извлекаем, не глядя, три шара. Какова вероятность того, что все они будут окрашены?

Общее число исходов при извлечении шаров:

.

Благоприятных исходов того, что все шары окрашены:

.

Следовательно, .