Информатика и математика (стр. 6 )

На множестве R следует выполнить условие:

, т. е. или х < 0,2.

Отсюда: .

11. Найти ОДЗ функции .

Так как на ноль делить нельзя, то следует выполнить условие .

Отсюда: .

12. Исследовать на четность функцию .

Положим х1 = 2, х2 = –2. Тогда и. Так как корреляции типов или не устанавливаются, следовательно, заданная функция – общего вида.

13. Исследовать на четность функцию .

Принимая те же значения, что и в примере 12, имеем:

и.

Так как , то заданная функция – нечетная.

14. Представить сложную функцию системой.

Решение: .

15. Представить сложную функцию системой.

Решение: .

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания:

1. Найти (A U B) ∩ С, если A={x | –p1 ≤ x < p2}; B={x | 0 ≤ x < p1} и

C={x | –p2 ≤ x <p3}.

2. Оценить множество , где n€N.

3. Оценить множество A={x | –p1 <x ≤ p3}.

4. Оценить множество С=А∩В, если А={x| x > –p1} и B={x| –2p1 ≤x < p2}.

5. Найти ОДЗ функции .

6. Исследовать на четность функцию: .

7. Исследовать на четность функцию: .

8. Построить по точкам график функции

.

9. Расшифровать сложную функцию .

10. Расшифровать сложную функцию .

& Литература: 4, 16, 26.

Тема 11. Элементы математического анализа

Понятие предела является фундаментальным понятием в математическом анализе. С другой стороны, это понятие позволяет изучать поведение различных процессов и моделей как на бесконечности, так и в конкретных точках.
На ряде примеров рассмотрим основные методы вычисления пределов.

1. .

В любой задаче на пределы сначала рассматривается прямая подстановка . Если при этом получается конечное значение (в том числе и 0) или ∞, или –∞, то расчет закончен. В данном примере:

2. .

Решение:

3. .

Решение: .

4. .

Решение: .

Здесь использована теорема: величина, обратная бесконечно большой,
является бесконечно малой, т. е. 0.

5. .

Решение: .

В данном случае прямая подстановка привела к неопределенности. Упростим функцию:

.

Таким образом,

.

6. .

Решение: .

Используем разложение квадратного трехчлена на множители по известной формуле: , где .

Тогда .

Следовательно,

.

7. .

Решение: .

В этом случае следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т. е. на х3, и использовать теорему , т. е.

.

8. .

Решение: .

9. .

Применим первый замечательный предел . Для приведения заданного выражения к такому виду введем замену переменной: u=3x;
отсюда . Следовательно,

Для аргумента: , т. е. или .

Таким образом, .

10. .

Используем второй замечательный предел в форме:. Заменяем переменную:

, откуда и . Из следует и .

Таким образом: .

11. .

Используем второй замечательный предел в форме: .
Заменяем переменную: , откуда . Из следует
и .

Таким образом: .

Следующим фундаментальным понятием математического анализа является понятие производной и дифференциала функции. С другой стороны, связанные с этими понятиями приращение, скорость изменения, ускорение – важные характеристики функции, позволяют делать общие выводы об изменяемости
и устойчивости различных процессов и моделей.