Информатика и математика (стр. 7 )

12. Найти приращение функции у = х2 + 1, если аргумент х изменяется от 1 до 1,4.

По определению

В нашем случае f (x) = 12 + 1 = 2; f (x+∆x)=1,42+1=2,96.

Следовательно, ∆у = 2,96 – 2 = 1,96.

В дальнейших примерах рассмотрим технику дифференцирования.

13. у= х2 — 5х + 4.

Дифференцируем: .

14. .

Предварительно перепишем это выражение:

.

Теперь дифференцируем:

.

15. .

Используем формулу производной от произведения. Имеем:

.

16. .

Используем формулу производной от дроби. Имеем:

.

17. у=(1+5х)3.

Это — сложная функция. Преобразуем ее в систему.

, отсюда

и .

18. .

, отсюда и .

19. .

.

20. . Найти .

Последовательно дифференцируя, получаем:

. Следовательно, .

21. С помощью дифференциала вычислить , если известно, что .

Приближенная формула имеет вид: .

В нашем случае

х=2; ∆х=0,1; . Следовательно, .

Наиболее часто встречающимися применениями дифференцирования являются раскрытие неопределенных пределов (правило Лопиталя) и исследование особенностей изменяемости функций, в том числе построение графиков функций.

22. Вычислить .

Решение: .

23. Вычислить .

. Для раскрытия неопределенности такого типа следует предварительно преобразовать произведение в дробь.

Возможны два варианта:

или .

Только после этого можно применить правило Лопиталя. Используя первый вариант, получим:

.

24. Вычислить .

Здесь имеет место случай . Для раскрытия таких пределов удобно сначала прологарифмировать заданную функцию и затем применить правило
Лопиталя. Имеем:

.

Так как ln A = 0, то А = е 0 = 1.

25. Найти экстремумы функции .

Дифференцируем: . Производная, очевидно, не существует при х=0. Кроме того, она равна 0 при х=1. Следовательно, имеем две стационарные точки х1=0 и х2=1. Опять используем первое достаточное
условие:

Таким образом, заданная функция имеет максимум при х = 0 и минимум при х = 1. Соответствующие экстремальные значения: уmax=f (0)=...=1, ymin= f (1)=...= –2.

26. Найти экстремумы функции у=3 – 2х2 + х4.

Дифференцируем: .

Стационарные точки: , откуда ; .

Используем второе достаточное условие. Вторая производная: . Таким образом: ,

т. е. является точкой максимума и .

, т. е. является точкой минимума и

.

, т. е. является второй точкой минимума и .

27. Исследовать выпуклости функции у=3х4 – 4х3.

Дифференцируем: ; .

Стационарные значения для второй производной:

36х2 – 24х=0, откуда х1=0 и х2=

Вычисляя знаки второй производной в интервалах обычным образом, заключаем, что обе точки будут точками перегибов заданной функции, причем при х < 0 и х > функция вогнутая, а при 0 < x < функция выпуклая.

Ординаты точек перегиба:

у1, пер= f (0)=...=0; у2, пер=

28. Исследовать функцию и построить ее график.

1. ОДЗ этой функции: x>0. Вертикальная асимптота: х=0.

2. Уже по ОДЗ ясно, что заданная функция – общего вида.

3. Определим точку пересечения с осью оХ: , откуда
и х = 1.

4. Дифференцируем:

5. Определим стационарные точки. Значение х=0 исключаем, как
не вошедшее в ОДЗ. Тогда: , откуда х=е.

6. Выберем второе достаточное условие.

Вторая производная: .