Информатика и математика (стр. 8 )

Тогда , т. е. точка х = е является точкой максимума,
и . Заданная функция возрастает при x < e и убывает при x > e.

7. Определим выпуклости заданной функции. Стационарные значения второй производной , откуда х = е1,5.

Таким образом, точка х=е1,5 является точкой перегиба, причем слева от нее функция выпукла, а справа – вогнута. Ордината упер=...=.

8. Проверим горизонтальную асимптоту:

следовательно, ось оХ является горизонтальной асимптотой.

Всех полученных данных достаточно для построения графика.

Интегрирование функций является обратной операцией по отношению
к операции дифференцирования, т. е. восстановление функции по заданным
ее производной или дифференциалу.

Функция F(x) называется первообразной функцией для заданной функции y = f(x) на отрезке a £ x £  y, если в каждой точке этого отрезка ее производная равна f(x), т. е. .

Каждая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину.

Общее выражение F(x) + C для всех первообразных функций от данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается ,

где f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением.

При вычислении неопределенных интегралов необходимо использовать как стандартную таблицу, так и различные приемы упрощения подынтегральных выражений, позволяющих свести задачу к табличным интегралам или привести к такому виду, который позволит воспользоваться справочными таблицами.

29. Вычислить.

В данном случае – приводим к табличному виду

:

.

30. Вычислить .

Здесь для приведения к табличному виду

преобразуем подынтегральное выражение к сумме двух слагаемых:

.

Во многих случаях для приведения к табличному виду можно
использовать замену переменной (подстановку).

31. Вычислить интеграл .

Здесь для применения табличной формулы необходимо преобразовать показатель степени 2x – 1. Введем подстановку: u = 2x – 1, откуда du = 2dx и .

Тогда:

.

32. Вычислить интеграл .

.

33. Вычислить интеграл .

.

34. Вычислить интеграл .

Интегралы такого типа вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям .

.

35. Вычислить интеграл .

.

В случае, когда нужно вычислить интеграл от дроби, используется прием деления «углом». Это возможно тогда, когда степень числителя больше или равна степени знаменателя.

36. Вычислить интеграл .

Разделим:		2x – 1	x+1	, следовательно
		2x + 2	2
		–3

.

Тогда:

.

37. Вычислить интеграл .

Делим:

	x3 + 0 × x2 + x +0	–x + 1
	x3 + x2	–x2 – x – 2
	x2 + x
	x2 – x
	2x + 0
	2x – 2
	2

Таким образом: , откуда:

.

Если знаменатель дроби разлагается на простые множители (x – xi), то для интегрирования таких дробей используется метод неопределенных коэффициентов: .

38. Вычислить интеграл .

Так как , то

.

Приведем правую часть к общему знаменателю:

.

Отбрасывая знаменатели и открывая скобки, получим

.

Чтобы два алгебраических выражения были тождественно равны, следует обеспечить равенство соответствующих коэффициентов. Получаем систему уравнений:

.

Отсюда ; и

.

Таким образом,

.

39. Вычислить интеграл .

Аналогично предыдущему примеру, имеем:

;

;

.

Соответствующая система уравнений и ее решение:

.

Таким образом,