Информатика и математика (стр. 12 )

.

Находим дисперсию:

.

Стандарт .

12. Случайная величина X задана законом распределения

Х	1	2	4
p	0,1	0,3	0,6

Найти начальные и центральные моменты первых трех порядков.

Найдем сначала начальные моменты .

;

;

.

Теперь найдем центральные моменты .

;

;

.

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания:

1. Бросаются три игральных кубика.

Определить вероятность появления ровно p2 очков.

2. Среди (p1 + p2 + p3) деталей имеются четыре бракованных. Произвольно вынимаются пять деталей.

Какова вероятность того, что среди них хотя бы одна – бракованная?

3. На экзамен вынесено (p1·p2·p3) вопросов, причем студент может ответить на три четверти этих вопросов. Для получения тройки надо ответить не менее чем на три вопроса, четверки – на четыре и пятерки – на пять.

Определить вероятность получения студентом оценок 2, 3, 4 и 5.

4. На трех станках изготавливаются патроны. На первом станке в минуту изготавливается p1 патронов, на втором – p2 и на третьем – p3. Установлено, что после одного часа работы на первом станке 2% патронов, на втором 3% и на третьем 5% – дефектные. На контроль берется один патрон после каждого часа работы.

Определить полную вероятность того, что он будет дефектным.

5. Два студента на практике в налоговой полиции проверяют правильность заполнения налоговых деклараций членами Правительства РФ. Первый студент обрабатывает 60% деклараций, второй – 40%. Вероятность того, что первый студент допустит ошибку при обработке, равна , а второго – . Руководитель практики для контроля проверил одну декларацию и выявил ошибку проверки.

По формуле Байеса определить вероятность того, что ошибся первый студент.

6. В партии, содержащей (p1·p2·p3) упаковок чая, имеется 6 упаковок, в которых чай подменен наркотиком. На удачу берется 5 упаковок.

Построить ряд и многоугольник распределения числа упаковок с чаем среди отобранных.

7. Монету бросают p1 раз.

Написать распределение Бернулли для случайной величины X – числа появлений орла в процессе испытания.

8. Учебник по математике издан тиражом 100 000 экз. Вероятность бракованного экземпляра.

С помощью распределения Пуассона найти вероятность того, что в тираже будет ровно p2 бракованных книг.

9. Для закона распределения, заданного таблицей:

Х	1	2	4	7	8	10
p	a1	a2+0,04	a3+0,01	a1+a2	a2+a3	0,95‑(2a1+3a2+2a3)

где ; ; ,

определить математическое ожидание, дисперсию и стандарт случайной величины X.

& Литература: 2, 3, 4, 17, 20, 26.

Тема 14. Элементы математической логики

Средства и методы доказательств значительно облегчаются введением символических обозначений и математических операций над высказываниями и комбинациями высказываний.

1. Составить таблицу истинности для формулы .

Для решения таких задач надо прежде всего определить число вариантов по формуле m = 2n, где n – число независимых высказываний. В данном случае для двух высказываний x и y m = 22 = 4, т. е. таблица истинности будет содержать четыре строки. Следующим шагом является перебор всех значений 1 и 0 для x и y и использование известных свойств дизъюнкции.

В результате имеем таблицу:

x	y
1	1	0	1
1	0	1	1
0	1	0	0
0	0	1	1

2. Составить таблицу истинности для формулы .

В отличие от примера 1 здесь n =3, т. е. x, y и z. Поэтому m = 23 = 8
и таблица содержит восемь строк. Остальное – аналогично примеру 1:

x	y	z
1	1	1	0	0	1
1	1	0	0	0	0
1	0	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1
0	1	1	0	0	1
0	1	0	0	0	0
0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	0

3. Доказать равносильность .

Для решения таких задач необходимо использовать важнейшие равносильности алгебры логики, приведенные в плане-конспекте. Преобразуем левую часть: (формула второй группы).

А теперь переведем импликацию в дизъюнкцию (по формуле ): .

Используем дистрибутивный закон (третья группа):

.

Но по основным равносильностям (первая группа):

, т. е.

.

Используя теперь и , имеем (для ясности поставим скобки): .

Полученное выражение полностью совпало с правой частью исходной формулы (ясно, что ), поэтому равносильность доказана.

Обычно такие доказательства и преобразования записываются короче в виде цепочки:

4. Упростить формулу .

Рассуждая аналогично предыдущему примеру и, используя основные равносильности, получим цепочку:

5. За отсутствие документов наряд милиции задержал трех студентов разных вузов: Романа, Сергея и Павла. На допросе каждый из них показал следующее:

‑ Роман: Я учусь в ИМПЭ, а Сергей – в СГУ;

‑ Сергей: Я учусь в ИМПЭ, а Роман – в МИЭП;

‑ Павел: Я учусь в ИМПЭ, а Роман – в СГУ.

В ответах каждого из них одно утверждение истинно, а другое – нет. Поэтому в милиции легко определили, кто где учится. Как это было установлено?