Информатика и математика (стр. 13 )

При решении таких логических задач, постоянно возникающих в деятельности юриста, необходимо формализовать имеющиеся утверждения, определить базовую связь между ними и упростить полученное выражение путем равносильных преобразований.

Обозначим через Xy студента, имя которого начинается с буквы X,
а y – первая буква названия института, в котором он учится. К примеру, утверждение «Роман учится в ИМПЭ» запишется Ри.

Так как в показаниях студентов одно утверждение верно, а другое – нет, то по условию задачи можно составить следующие истинные дизъюнкции:

РиСс = 1,

СиРм =1,

ПиРс =1.

Но тогда будет истинной и конъюнкция этих дизъюнкций:

(РиСс) (СиРм) (ПиРс) =1.

Используем свойства равносильностей. Для первых двух скобок:

(РиСс)(СиРм)=(РиСи)(РиРм)(СсСи)(СсРм)=

=000(СсРм) = СсРм.

Так как все студенты из разных вузов, то XyXz = 0 и, кроме того, один студент не может учиться в двух вузах, поэтому XyZy = 0, что и приводит к такой формуле.

А теперь полученный результат используем с третьей скобкой конъюнкции:

(СсРм) (ПиРс) = (СсПи)(СсРс)(РмПи)(РмРс)=

=(СсПи)0(РмПи)0=(СсПи)(РмПи)=

=(СсРм) Пи=СсРмПи.

Так как по конъюнкции СсРмПи = 1, то Сергей учится в СГУ,
Роман – в МИЭП, а Павел – в ИМПЭ.

Решение полученной задачи есть логическое рассуждение.

6. По подозрению в совершенном преступлении задержали Брауна, Джона и Смита. Один из них был уважаемым в городе стариком, другой был малоизвестным чиновником, третий – известным мошенником. В процессе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий задержанный в одном случае говорил правду, а в другом – ложь. Вот что они утверждали:

Браун: «Я совершил это, Джон не виноват».

Джон: «Браун не виноват. Преступление совершил Смит».

Смит: «Я не виноват, виноват Браун».

Требуется определить имена старика, мошенника и чиновника, и кто из них виноват, если известно, что преступник один.

В этой задаче условие может быть записано в виде формулы, истинность которой не очевидна. Следует провести анализ.

Обозначим буквами B, D и S высказывания: «виноват Браун», «виноват Джон» и «виноват Смит» соответственно. Тогда утверждения, высказанные задержанными, можно записать в виде конъюнкций:

,

из которых по условию задачи две ложны, а одна истинна и поэтому будет истинна формула:

.

Эта формула не тождественно истинна. Действительно, если истинно высказывание D и ложны высказывания B и S, то L = 0. Но эта формула
и не тождественно ложна. Например, при истинном высказывании B
и ложных высказываниях D и S имеем L = 1. В связи с этим имеет смысл рассмотреть таблицу истинности формулы L и проанализировать все случаи, при которых формула L истинна.

Таблица истинности этой формулы имеет вид:

B	D	S				L
1	1	1	0	0	0	0
1	1	0	0	1	0	1
1	0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	1	0	1
0	1	1	0	0	1	1
0	1	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	1	1
0	0	0	0	0	0	0

Отсюда видно, что формула L истинна в пяти из восьми нумерованных случаев. Случай 4 следует исключить из рассмотрения, так как здесь оказываются истинными две конъюнкции, а это противоречит условию задачи.

В случаях 2, 3 и 5 оказываются истинными по два высказывания B и D, B и S, D и S соответственно, что также противоречит условию задачи. Следовательно, справедлив случай 7, т. е. преступник – Смит. Он известный мошенник, и оба его высказывания ложны . При этом B = 0 и D = 0, т. е. высказывания B и D ложны. Значит, истинна пара высказываний Джона, а у Брауна первое высказывание ложное, а второе – истинное. Отсюда ясно, что Джон – уважаемый в городе старик, а Браун – малоизвестный чиновник.

7. Пусть заданы предикаты : «x – четное число» и : «x – делится на 3», определенные на множестве N. Найти область истинности предиката .