Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

  • 30% recurring commission
  • Выплаты в USDT
  • Вывод каждую неделю
  • Комиссия до 5 лет за каждого referral

.

Понятие определенного интеграла имеет самостоятельное значение
в математическом анализе. Однако их вычисление основано на использовании формулы Ньютона-Лейбница применительно к известным первообразным.

Рассмотрим ряд примеров вычисления определенных интегралов.

40. Вычислить интеграл .

Первообразная: .

По формуле Ньютона-Лейбница:

.

Вычисление значения интеграла обычно принято записывать цепочкой, без выделения первообразной и формулы Ньютона-Лейбница.

41. Вычислить интеграл .

.


При замене переменной необходимо сразу преобразовать верхний и нижний пределы.

42. Вычислить интеграл .

.

43. Вычислить интеграл .

Несобственные интегралы первого рода (один или оба предела интегрирования содержат бесконечность и подынтегральная функция – непрерывна) вычисляются по той же формуле Ньютона-Лейбница, но с применением теорем
о бесконечно малых и бесконечно больших величинах.

.

Здесь использована известная формула или, более строго, .

44. Вычислить интеграл .

. Здесь учтено, что . Интеграл расходится.

45. Вычислить интеграл .

Аналогично примеру 59 имеем:

.

46. Оценить значение интеграла с помощью теоремы о среднем определенного интервала.

В случае сложных подынтегральных выражений или «неберущихся» интегралов для оценки значения интеграла достаточно удобна теорема о среднем: .

Здесь c – точка внутри интервала интегрирования (т. е. a < c < b), выбираемая при выполнении расчета. Для практических целей удобно выбирать середину интервала, т. е. .

Для решения примера выберем .

Тогда: .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Точное значение интеграла равно 1,12, т. е. погрешность составила 7%.

Заметим, что удачный выбор точки с может повысить точность
вычислений. Однако середина интервала удобнее для грубой оценки значения интеграла. При необходимости более точных вычислений следует использовать другие методы, из которых рекомендуем формулу трапеций.

47. Вычислить интеграл по формуле трапеций.

Формула трапеций имеет вид:

.

Здесь – число интервалов разбиения области интегрирования;
xi – абсцисса конца интервала, причем x0 = a и xn = b.

Точность формулы зависит от выбираемого значения n. При ответственных расчетах рекомендуется вычислить интеграл для двух различных значений n (к примеру, n = 8 и n = 12), после чего сравнить результаты. Если они близки, то расчет закончен. Существует и аналитическая формула для оценки погрешности.

Выберем для данного примера n = 5, т. е. разобьем область интегрирования на пять интервалов.

Длина интервала , следовательно :


В нашем примере . Для вычисления удобно оформить расчеты следующей таблицей:

N

xi

0

0

1

1

0,2

0,9615

2

0,4

0,8621

3

0,6

0,7353

4

0,8

0,6098

5

1

0,5000

В соответствии с формулой трапеций:

.

Точное значение этого интеграла 0,7854, т. е. погрешность составила 0,2%.

Если повторить расчет, приняв n = 10, то приближенное значение
интеграла будет 0,7850, что отличается от точного на 0,05%. Таким образом, формула трапеций обеспечивает хорошую практическую точность вычислений и легко реализуется на компьютере.

Существуют и другие, достаточно удобные, формулы приближенного интегрирования (квадратурные формулы) – Симпсона, Гаусса и др., которые можно найти в перечисленной в конце темы литературе.

48. Найти площадь полуволны синусоиды.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь фигуры, образованной линией y = f(x), осью 0x и вертикальными прямыми x = a и x = b. Отсюда следует, что общая формула площади любой фигуры, с учетом того, что по физическому смыслу площадь S не может быть отрицательной, имеет вид:

.

При решении задач на площади рекомендуется предварительно построить эскиз вычисляемой площади. В данном случае:

Отсюда:

. .

Следовательно, 2 квадр. ед.

49. Вычислить площадь фигуры, образованной осью 0x и линией на интервале .

Эскиз показывает, что линия пересекает ось 0x. При вычислении площади разобьем интеграл на два слагаемых, для того чтобы не допустить алгебраического сложения величин различных знаков. Найдем сначала точку пересечения функции с осью 0x:

Þ , (отбрасываем, так как это значение не входит
в интервал ).

Таким образом, кв. ед.

50. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями и .

Точки пересечения линий определятся из уравнения ,
т. е. .

Для решения задач со сложным очертанием области удобно использовать графическое разложение на сумму простейших фигур. Так, в нашем случае:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14