Основы квантовой электроники (стр. 3 )

Для всех трёх процессов в ансамбле рассматриваемых квантовых частиц можно ввести (Таблица 1.2):

–скорость процесса (1.6): Fc, Fп и Fи, представляющую собой число переходов в единице объёма за 1с и имеющей размерность [см–3с–1]. В (1.6) n1 и n2–населённости уровней, определяемые как число частиц в единице объёма и имеющие размерность [см‑3];

–удельную мощность (1.7): Pc, Pп и Pи, полученную умножением F из (1.6) на энергию фотона hν;

–полную мощность (1.8): , и , полученную умножением P из (1.7) на объём ансамбля частиц V.

1.4. Связь между коэффициентами Эйнштейна.

Рассмотрим ансамбль частиц, находящийся в состоянии ТДР. Балансное (или кинетическое) уравнение для концентрации частиц, находящихся на уровне «2», в стационарном случае будет

. (1.9)

Из (1.9), используя формулу Больцмана (1.2), для ρν можно получить

. (1.10)

С учётом того, что hν=Е2–Е1, формула (1.10) будет иметь вид (1.1), если

(1.11,а)

и , (1.11,б)

Выражения (1.11,а) и (1.11,б) дают связь между коэффициентами Эйнштейна. В (1.11,б), как и в формуле Планка (1.1), использована величина –число возможных типов колебаний (мод) в единице объёма свободного пространства и в единичном спектральном интервале.

Расчеты показывают, что коэффициенты B12 и B21, выражающиеся через квадрат матричного элемента квантово-механического оператора перехода: , не являются функцией частоты , откуда следует, что коэффициент А21 пропорционален третьей степени частоты (А21~).

Для всего многообразия переходов в видимой части оптического спектра (ν порядка 1014 Гц), коэффициент Аik(с-1)~(10–39…10–34)· (Гц), что даёт для нижней границы диапазона изменений : Аik~103 с–1 (запрещённые переходы), а для верхней границы: Аik~108 с–1 (разрешённые электрические дипольные переходы). В то же время для СВЧ-диапазона величина Аik ничтожно мала: Аik<<1.

1.5. Релаксационные переходы.

К релаксационным относят переходы, происходящие без внешнего излучения. Это – рассмотренные выше спонтанные переходы (вероятность Wс) и столкновительные безызлучательные (вероятность wст). Переходы последнего типа могут происходить при столкновении квантовой частицы, например, находящейся в состоянии «2»–A(«2»), с какой-либо другой частицей В. В результате первая квантовая частица переходит, например, в состояние «1», а высвобождаемая при этом потенциальная энергия ΔЕ=Е2–Е1 превращается в энергию другого вида – в кинетическую энергию одной или обеих частиц:

A(«2») + В → A(«1») + В + {Eкин=ΔЕ}.

Полная вероятность релаксационных переходов Wрел в нашем примере будет:

Wрел=А21 + w21ст. (1.12)

Оценивая вероятность wст как <VQ>NВ (где Q – эффективное сечение столкновений, V–относительная скорость частиц при столкновении, NВ–концентрация частиц В), получим, что wст (с–1)~ (104…106)·p(Тор). Для диапазона частот видимого спектра найдём, что А21 порядка wст. В то время в дальнем ИК и СВЧ-диапазонах: А21<<wст, и в этих случаях релаксация уровней происходит преимущественно столкновениями.

Ансамбль частиц, выведенный из состояния ТДР, в отсутствие внешнего излучения, за счёт релаксационных переходов возвращается в это состояние с постоянной времени τi , являющейся по определению временем жизни уровня “i”:

. (1.13)

1.6. “Форма” и ширина спектральных линий

1.6.1. Понятие оптического спектра. Оптическим спектром называют совокупность частотных составляющих, на которые может быть разложено оптическое излучение ансамбля квантовых частиц; т. е. спектр представляет собой распределение энергии оптического излучения по длинам волн (частотам). Спектр можно получить с помощью спектрального прибора как результат обработки спектрограммы. В зависимости от того, какой тип квантового перехода связан с исследуемым оптическим излучением квантовой системы, различают спектры испускания (эмиссионные) и поглощения (абсорбционные). Оптический спектр отдельных атомов является линейчатым, т. е. состоящим из отдельных “спектральных линий”, каждой из которых соответствует дискретное значение длины волны (частоты). (Принятое в спектроскопической практике понятие "спектральная линия" обусловлено тем, что монохроматическое изображение входной щели, формируемое в фокальной плоскости спектрального прибора, имеет вид линии). Энергия линии сосредоточена в некотором интервале частот Dn (говорят, что линия “уширена”). Этот интервал обычно много меньше абсолютного значения частоты n0, соответствующей максимальному значению интенсивности излучения линии. Конечная ширина («размытость» по энергии) линии, вытекает хотя бы из соотношения неопределенностей ΔE·τ~ħ, где τ конечно и определяется релаксационными процессами (1.13). Конечность τ и ΔE ведет и к конечной ширине частотной зависимости вероятности W(ν) перехода. Вид уширения линии играет в квантовой электронике важную роль. Как будет показано ниже, помимо релаксационных процессов существуют и другие причины уширения.

Спектр может состоять и из отдельных групп тесно расположенных спектральных линий, образующих полосы, либо быть сплошным (непрерывный спектр).

Рис. 1.2. Параметры спектральной линии

1.6.2. Параметры спектральной линии. Под формой линии понимают частотную зависимость интенсивности излучения на данном квантовом переходе–I(ν). Интенсивность излучения I определяется как поток мощности излучения или как энергия, проходящая через площадку в 1 см2 в 1 с, и имеет размерность [I]=Дж·см–2·с–1=Вт·см–2.

Для типичной спектральной линии, имеющей, как говорят «колоколообразную» симметричную форму, можно обозначить следующие ее параметры и характерные точки (рис.1.2):

n0–центральная частота, соответствующая максимуму спектральной интенсивности линии: ;

ν' и ν'' – значения частоты, соответствующие половине интенсивности, т. е. I(ν')=I(ν'')=I(ν0)/2;

Dn=ν''–ν' – ширина линии на уровне I(ν0)/2 (“на полувысоте”), или коротко: ширина линии.

Введя интегральную интенсивность линии I как: , спектральную интенсивность (“форму” линии) можно выразить аналитически двумя способами, через функцию формы линии (или ”форм-фактор”) двух видов: и (Таблица 1.3). Условие нормировки (1.15) для функции может быть получено путём интегрирования , а для функции – путем вычисления при n=n0.

Таблица 1.3. Представление формы спектральной линии

	используя “функцию формы” линии	используя “функцию формы” линии
Представление	(1.14,а)	(1.14,б)
Условие нормировки “функции формы” линии	(1.15,а)	(1.15,б)
Представление данной функции через другую	(1.16,а)	(1.16,б)
Значение “функции формы” линии при n=n0	(1.17,а) (однородное уширение) (1.17,б) (неоднородное уширение)	(1.17,в)

1.7. Виды уширения спектральных линий