Основы квантовой электроники (стр. 4 )

Спектральные линии ансамбля квантовых частиц испытывают уширение двух видов–однородное и неоднородное.

1.7.1. Однородное уширение. При однородном уширении спектральных линий функции формы линии (форм-факторы) для каждой частицы и всего ансамбля совпадают. Однородное уширение является следствием релаксационных процессов (см., раздел 1.5) и бывает естественным, столкновительным, пролётным и др., первые два типа обычно преобладают, и ширина однородно уширенной линии

.

Естественное (или радиационное) уширение , которое является нижней границей , возникает за счёт конечного времени жизни уровней «1» и «2»: τ1 и τ2 (1.13). Точное значение даёт квантово-механический подход. В самом деле, используя соотношение неопределённостей для обоих уровней:

ΔE1·τ1 ~ ħ и ΔE2·τ2 ~ ħ,

можно найти значение ширины уровней ΔE1 и ΔE2, откуда можно получить

. (1.18)

Столкновительное уширение с достаточной точностью можно найти, воспользовавшись моделью классического осциллятора, фаза колебания которого испытывает скачок в момент столкновения излучающей частицы с другими частицами, со стенкой кюветы с газом и др., откуда

, (1.19)

где τст–интервал времени между двумя последовательными столкновениями излучающей частицы с другими частицами, со стенками кюветы и др.

В результате будет

, (1.20)

где через τj обозначены , и . Важно, что не зависит от частоты перехода ν.

Функции формы линии излучения при однородном уширении могут быть получены методами электродинамики, и являются функциями Лоренца:

и . (1.21)

Из (1.21) легко получить значение функции при ν=ν0 (ф-ла (1.17,а) в Таблице 1.3).

1.7.2. Неоднородное уширение. При неоднородном уширении форм-факторы каждой частицы и всего ансамбля различны, а именно, форм-фактор ансамбля является суперпозицией форм-факторов всех частиц. Причиной неоднородного уширения может быть любой процесс, приводящий к различным условиям возбуждения и (или) излучения различных частиц или их групп. Примерами неоднородного уширения являются уширение за счет эффекта Доплера при хаотическом тепловом движении частиц в газе, а также уширение за счет эффекта Штарка в кристаллах.

Специальная теория относительности дает следующее выражение для сдвига частоты ν, регистрируемой наблюдателем, если источник, излучающий на частоте ν0, движется относительно наблюдателя со скоростью (эффект Доплера):

, (1.22)

где – единичный вектор, указывающий направление на наблюдателя, с – скорость света. Из (1.22) легко получить выражение для ν в нерелятивистском случае (при малых скоростях, когда u<<c):

(1.23)

Видно, что движение излучающей частицы «к наблюдателю» приводит к сдвигу частоты излучения в сторону б'ольших ν, а «от наблюдателя»–меньших ν, причем контур излучения каждой частицы является лоренцевым с шириной, равной Δνодн (см., рис. 1.3). Неподвижные (с u=0) или движущиеся с =0 () частицы, вносят вклад в суммарный контур ансамбля на центральной частоте ν0; с <0–на частотах ν'<ν0, а с >0–на частотах ν''>ν0. Функцию формы линии при распределении частиц по скоростям, описываемым законом Максвелла-Больцмана, можно получить, исходя из того, что в соответствии с (1.23) вклад в излучение в частотном интервале ν…ν+dν дают частицы, имеющие скорости в интервале u…u+du. Число таких частиц определяется вероятностью p(u) в распределении Максвелла-Больцмана, т. е.

Рис. 1.3. Уширение спектральной линии за счет эффекта Доплера. Заштрихованные контура–однородно уширенные и относящиеся к одной группе частиц. a – вклад частиц со скоростью u·k·cosφ=0, б – вклад частиц со скоростью u·k·cosφ<0, в – то же при u·k·cosφ>0.

. (1.24)

Подставляя в (1.24) p(u), получим

, (1.25)

где – средняя тепловая скорость частиц. Продифференцировав (1.23), найдём связь между du и dν,: , и подставив её в (1.25), получим гауссовский профиль линии :

,(1.26)

где

– ширина неоднородно уширенной линии. В последней, “расчётной”, формуле ν0–в Гц, Т – в К, Μ – масса частицы в а. е.м.

Важно, что в отличие от однородного, при неоднородном уширении зависит от центральной частоты перехода ν0. Значение приведено в Таблице 1.3 (формула (1.17,б). Сравнение лоренцевского и гауссовского контуров (рис. 1.4) при одинаковых интегральной интенсивности и ширине линий показывает, что лоренцевский контур имеет более пологие «крылья».

Рис. 1.4. Сравнение форм-факторов S(ν) для лоренцевой (при однородном уширении) и гауссовой (при неоднородном уширении) линий.

Другим типом неоднородного уширения является уширение за счёт эффекта Штарка в кристаллах. В кубических кристаллах преобладает механизм однородного уширения линий, а в стёклах–механизм неоднородного уширения. В примесном кристалле основными причинами неоднородного уширения могут быть: при низких температурах–неоднородные внутренние напряжения, обусловленные низкой симметрией кристалла (чем ближе реальная решетка кристалла к идеальной кубической, тем меньше вклад неоднородного уширения в ширину линии); а при высоких температурах–электрон-фононные взаимодействия.

1.8. Интегральная вероятность перехода с учётом формы линии.

А. Эйнштейном вводились вероятности (1.3)–(1.5) без учёта частотной зависимости вероятности перехода. Теперь зная форму линии, можно вычислить интегральные вероятности спонтанных и индуцированных переходов, а также переходов с поглощением. Для интегральной вероятности спонтанного перехода получим тот же, что и без учёта формы линии, результат:

. (1.27)

Интегральная вероятность поглощения и индуцированного излучения зависит, кроме S(ν) линии, ещё и от частотной зависимости плотности энергии падающего излучения . В Таблице 1.4 приведены выражения для интегральной вероятности поглощения и индуцированного излучения в двух случаях: для медленно (по сравнению с S(ν)) изменяющейся –случай теплового излучения («абсолютно чёрного тела»), а также–для монохроматического излучения, когда является быстро изменяющейся функцией частоты. В последнем случае монохроматическое излучение может действовать как на произвольной частоте ν', так и на центральной частоте перехода .