Введение (стр. 12 )

Для определения усилия в стержне 10-11 используем спо­соб моментной точки. Такой точкой является узел 7. Со­ставляем уравнение моментов относительно точки 7.

∑M7 = 0

N10-11 ·h - VB ·d = 0

N10-11 = VB ·d / h = 25· 4 / 4 = 25 кН (растянут)

Для определения усилий в стержне 7-11 используем способ проекций. Спроектируем все силы на вертикальную ось и со­ставим уравнение:

ΣFу=0;

Проектируя на вертикальную ось все силы, тем самым ис­ключаем из уравнения проекций два усилия N6-7 и N10-11, и в уравнение входит только одно неизвестное усилие:

N7-11 ·cosβ – F + VB = 0

N7-11 = (F - VB) / cosβ

cosβ = 0,707

N7-11 = (25 – 10) / 0,707 = 21,15 кН (стержень 7-11 растянут).

Определение внутренних усилий

графическим способом

Схема фермы М 1:100

3.  Все полученные данные о величине и знаке усилия в стержнях фермы сводим в таблицу 2.

Таблица 2

Номер стержня	Усилие в стержне (кН)
Аналитический расчет	Графический расчет	Аналитический расчет	Графический расчет
1-2 2-3 1-3 1-14 3-4 3-13 3-14 13-14 4-13 4-5 5-13 12-13 5-12 5-8 6-11 11-12 5-11 6-7 7-10 7-11 10-11 7-8 8-9 7-9 9-10	А-1 А-1 1-2 2-К В-4 3-4 2-3 3-К 4-5 С-5 5-6 6-К 6-7 С-8 8-9 7-F 7-8 Д-7 10-11 9-10 10- F Д-12 Д-12 11-12 11-Е	0 0 - 35,5 + 25 - 40 + 21,25 0 +25 -10 -40 -7 +45 +10 - 40 -10 +45 -7,05 -40 +10 +21,15 +25 0 0 - 35,5 +25	0 0 +25 0 -10 +10 -40 -7,05 +21,15 +25 0

4. Вопросы для самопроверки

1. Что называется фермой?

2. Классификация плоских ферм.

3. Каковы особенности работы ферм?

4. Какие существуют способы аналитического расчета ферм?

5. Какие существуют признаки нулевых стержней?

6. Какой порядок графического расчета плоских ферм?

7. Как по диаграмме Максвелла-Кремоны определить величину и направление усилий в стержнях ферм?

ГЛАВА VI

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ

1. Общие сведения

Определение перемещений необходимо при расчете сооружений на жесткость, а также при расчете статически неопределимых систем, когда, помимо уравнений равновесия, приходится составлять уравнения пере­мещений.

Различают три рода воздействий, вызывающих те или иные перемеще­ния: 1) силовое, 2) смещение опор или других связей, 3) температур­ное.

Рассмотрим общий метод определения перемещений от силового воздействия применительно к балкам и рамам. При этом бу­дем, пользоваться следующими общепринятыми обозначениями перемеще­ний:

∆ —перемещение от заданной нагрузки;

δ —перемещения от еди­ничной силы.

У каждой из этих букв будем ставить два индекса; первый — указывающий точку и направление перемещения, второй — причину, вызвавшую перемещение. Например, ∆31 обозначает перемещение точки приложения силы Р3 по ее направлению, вызванное действием силы Р1;

δ31 — перемещение по направлению силы Р3, вызванное единичной силой Р1 = 1 и т. д. При этом индексы читаются: три — один, но не тридцать один.

При определении перемещений будем рассматривать заданную систему в двух состояниях: 1-е состояние — действительное, когда к системе приложена заданная нагрузка; 2-е состояние — единичное, когда к си­стеме по направлению искомого перемещения приложена единичная «сила», а заданная нагрузка отброшена. В данном случае единичная «си­ла» — обобщенное понятие, так как в зависимости от определяемого пере­мещения это может быть сосредоточенная сила Р =1, сосредоточенный момент т = 1 и т. д. Все единичные силы — величины безразмерные.

Общая формула перемещений от силового воздействия имеет вид (16):

где ∆21 — перемещение по направлению единичной силы 2-го состояния от сил 1-го состояния (от заданной нагрузки), т. е. искомое перемещение; M1, N1 и Q1 — соответственно изгибающий момент, продольная и поперечная силы в сечении от заданной нагрузки (рассматривается 1-е состоя­ние); М2, N2 и Q2—соответственно изгибающий момент, продольная и поперечная силы в том же сечении (рассматривается 2-е состояние); k —коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.

Вместо цифровых индексов в формуле (16) часто ставят буквенные, например т и n. В этом случае она принимает вид (17):

В этих формулах ∫ указывает на интегрирование в пределах рассматриваёмого участка длиной l, а знак ∑ — на суммирование результатов интегрирования по всем участкам.

Практически определение перемещений в балках, рамах, а иногда и в арках производится по формуле (18):

так как влияние продольных и поперечных сил на перемещения незначи­тельно и. ими в большинстве случаев пренебрегают.

Если жесткость EJ в пределах каждого элемента системы постоянна, то последняя формула примет вид (19):

Определение перемещений по общей формуле производят в следующем порядке:

1.  Прикладывают по направлению искомого перемещения единичную «силу», (2-е состояние), соответствующую определяемому перемещению. При этом надо иметь в виду, что:

а) если определяют перемещение одной точки по какому-либо направ­лению, то прикладывают сосредоточенную единичную силу Р =1, дей­ствующую по направлению этого перемещения;

б) если определяют угол поворота какого-либо сечения, то соответству­ющая единичная «сила» представляет собой сосредоточенный единичный момент т =1, приложенный в этом сечении;

в) если определяют взаимное перемещение двух точек по какому-либо направлению, то соответствующая единичная «сила» представляет собой группу из двух противоположно направленных сосредоточенных сил Р = 1, действующих по линии искомого перемещения и приложенных в тех точках, взаимное перемещение которых определяют;

г) если определяют угол взаимного поворота двух сечений, то соот­ветствующая единичная «сила» представляет собой два противоположно направленных сосредоточенных момента т = 1, приложенных к этим се­чениям.

2. Находят выражения усилий M1, N1 и Q1 как функции координаты х произвольного сечения (рассматривается 1-е состояние системы).

4.  Находят выражения усилий M2, N2 ,Q2 как функции координаты х произвольного сечения (рассматривается 2-е состояние).

5.  Подставляют полученные выражения в формулу перемещений и интегрируют по участкам. Суммируя результаты интегрирования для всех участков системы, получают искомое перемещение ∆21. Если найден­ное перемещение положительно, то оно совпадает с направлением единич­ной силы, если же отрицательно, то противоположно этому направлению.

2. Вычисление интегралов Мора способом перемножения эпюр

(Правило )

Применение этого способа в значительной степени упрощает вычисление интеграла Мора. Способ заключается в следующем. Строят эпюры нагибающих момен­тов от заданной нагрузки (эпюры Мп) и от единичной нагрузки (эпюру Мn). Пусть первая эпюра имеет криволинейное очертание, а вторая — прямо­линейное. Тогда интеграл Мора может быть вычислен как произведение площади ωп эпюры криволинейного очертания (рис.6.1, а) на ординату уп прямолинейной эпюры (рис. 6.1., б), взятую под центром, тяжести криволи­нейной, т. е.

, (20)

При перемножении эпюр ставят знак плюс, когда обе эпюры имеют одина­ковые знаки, и знак минус, когда их знаки разные.

Рис. 6.1. Эпюры моментов

Следует иметь в виду, что эпюра, для которой вычисляется площадь ω, может быть любого очертания (не только кри­волинейная), эпюра же, из которой берется ордината у, обязательно дол­жна быть прямолинейной. Если обе эпюры прямолинейные, то из одной (любой) может быть определена площадь ω, а из другой взята ордината у. Когда одна из эпюр имеет сложное очертание, ее разбивают на простые фигуры.

В этом случае:

ω·y = ω1 ·y1 + ω2·y2 + ω3·y3 +…+ ωn·yn (21)

В таблице 3 приведены значения площадей и абсцисс центров тяжести наиболее часто встречающихся фигур.

Если одна или обе эпюры очерчены ломаной линией, то их разбивают на участки таким образом, чтобы, по крайней мере, одна из перемножаемых эпюр в пределах каждого участка была прямолинейной.

Формула для определения перемещений с использованием правила имеет вид:

∆1p = ∑ ω·y/E·I (22)

Здесь первый индекс (1) при ∆ показывает, что перемещение опреде­ляют по направлению единичной силы единичного состояния системы, второй (Р), — что это перемещение вызвано заданной нагрузкой.

В даль­нейшем эпюру моментов от единичной силы будем обозначать M1, а от за­данной нагрузки — Mр.