Введение (стр. 15 )

Вычисленные значения δik и ∆ip подставляют в канонические уравнения и решают полученную систему уравнений, в результате чего нахо­дят значения неизвестных реакций связей X1, X2, ..., Хп.

Нагрузив те­перь основную систему заданной нагрузкой и уже известными силами X1 = А1; Х2 = А2, ..., Хп = Ап, строят обычным путем (как для статиче­ски определимой системы) эпюры Q, М и N, которые и являются оконча­тельными эпюрами поперечных сил, изгибающих моментов и продольных сил для заданной системы.

Окончательную эпюру изгибающих моментов можно также получить путем суммирования ординат эпюры Мр с соответствующими ординатами эпюры

После определения неизвестных можно сразу получить эпюру М, по которой построить эпюру Q, а продольные силы определить из условий равновесия вырезаемых узлов рамы. Опорные реакции в этом случае находят в последнюю очередь, используя эпюры Q, М и N,

умноженными на X1, ординатами эпюры , умноженными на Х2 ..., и ординатами эпюры , умноженными на Хп, т. е.

Единичные перемещения с одинаковыми индексами (δ11, δ22, δ33 и т. д.) принято называть главными перемещениями, а с разными индексами

(δ12, δ13, δ23 и т. д.) — побочными.

Главные перемещения никогда не обращаются в нуль и всегда имеют положительное значение, так как в этом случае эпюры умножаются сами на себя, т. е. и площадь ω и ордината у берутся из одной и той же эпюры.

Побочные перемещения могут быть положительными, отрицательными, а при удачном выборе основной системы и равными нулю. В последнем случае в значительной мере сокращаются и упрощаются операции по вы­числению перемещений.

На рис. 7.4., б основная система выбрана неудачно, так как для нее ни одно из побочных перемещений не обратится в нуль. Ниже эта рама будет рассчитана, при более рациональном выборе основной системы.

3. Применение метода сил к расчету статически неопределимых балок и рам

Пример 7.4.

Построить эпюры Q и М для статически неопределимой бал­ки, изображенной на рис. 7.5., а. Проверить правильность построения эпюры М. Жёсткость балки равна EJ.

Решение

Согласно формуле (23) Л = 4 — 3 =1, следовательно, балка имеет одну лишнюю связь. В качестве основной системы примем балку с защемленным левым концом, полученную из заданной балки в ре­зультате устранения нагрузки и одной связи (шарнирно подвижной опо­ры В). Основная система, нагруженная заданной нагрузкой и неизвестной реакцией связи — силой X1, действующей но направлению устраненной связи, показана на рис. 7.5,6.

В заданной системе вертикальное перемещение точки В невозможно. В системе по рис. 7.5., б оно также должно быть равно нулю. Составим каноническое уравнение, выражающее это условие:

δ11X1 + ∆1p = 0 (27)

Для определения δ11 и ∆1p строим эпюру М1 от нагружения основной системы единичной силой Х1 = 1 (рис. 7.5., в) и эпюру Мр от нагруже­ния этой системы только силой Р (рис. 7.5., г). Перемещение δ11 получим умножением эпюры М1 на эпюру М1, т. е. самой на себя, а чтобы полу­чить значение ∆1p, надо перемножить эпюру М1 с эпюрой Мр. Итак,

При определении ∆1p площадь ω взята из эпюры Мр, а ордината у — из эпюры— М1. Если бы, наоборот, площадь была взята из эпюры М1, а ордината—из эпюры Мр, то следовало принять во внимание лишь часть acc1d1 эпюры М1, так как во всех сечениях балки в пределах участ­ка СВ изгибающие моменты равны нулю и произведение ωу для этого участка также равно нулю.

Из уравнения (28) находим Х1

Теперь в системе, показанной на рис. 7.5., б, все силы известны. Вы­числяем поперечные силы в характерных сечениях и строим по ним эпюру Q (рис. 7.5, д):

Для построения эпюры М вычислим изгибающие моменты:

Эпюра М приведена на рис. 7.5., е.

Проверим правильность по­строения окончательной эпюры изгибающих моментов. Наибо­лее надежной является так на­зываемая деформационная или кинематическая проверка. Она заключается в определении пе­ремещений по направлению ка­ждой отброшенной связи путем умножения окончательной эпю­ры М на эпюру М1 от соответст­вующей единичной силы. Если при этом перемещения по нап­равлению каждой отброшенной связи будут равны нулю, то окончательная эпюра изгибаю­щих моментов построена пра­вильно.

В рассматриваемом приме­ре, отброшена одна вертикаль­ная связь, поэтому определим вертикальное перемещение точ­ки В (∆В(верт)).

Рис. 7.5. Расчет балки методом сил

Для удобства перемножения эпюр треугольники aa1d и dсс1 (см. рис. 7.5., е) заменим треугольниками aa1c и асс1 имеющими одно и то же основание ас. Добавленные треугольники a1dc и adc1 не влияют на резуль­тат перемножения эпюр М и М1, так как площади этих треугольников, равные между собой, но противоположные по знаку, умножаются на одну и ту же ординату единичной эпюры М1 соответствующую центрам тяже­сти площадей треугольников, расположенным на одном перпендикуляре к прямой ас. В дальнейшем при решении других примеров в подобных слу­чаях будем поступать таким же образом. Итак,

Следовательно, окончательная эпюра М построена правильно. Произведем ту же проверку, используя формулу (23);

Как видим, получен тот же результат, что и выше.

Пример 7.5..

Построить эпюры Q, М и N для рамы, изображенной на рис. 7.6., а. Жесткость стойки АС принять равной EJ, жесткость ригеля CD и стойки BD равна 3EJ. Проверить правильность построения оконча­тельной эпюры М.

Решение

Так как Л = ЗК — Ш = 3∙1 —2 = 1, то рама один раз статически неопределима, т. е. содержит одну лишнюю связь.

Выберем основную систему, устранив нагрузку и горизонтальную связь в опоре В. Вертикальную связь отбросить нельзя, так как в противном случае оставшиеся три опорных стержня пересекутся в одной точке А и система будет мгновенно изменяемой.

Основная система, нагруженная заданной нагрузкой и неизвестной силой Х1; заменяющей действие отброшенной связи, приведена на рис.7.6., б.

Каноническое уравнение в данном случае будет выражать условие равенства нулю суммарного горизонтального перемещения точки В от заданной нагрузки и неизвестной силы X1:

Рассмотрим единичное состояние основной системы, когда по направле­нию удаленной связи приложена сила Х1 = 1, а все остальные нагрузки отброшены (рис. 7.6., в). Вертикальные опорные реакции здесь равны нулю, а горизонтальную определим из уравнения ∑Х = 0:

откуда

Рис. 7.6. Расчет рамы методом сил

Изгибающие моменты:

в сечениях элемента АС

в сечениях элемента CD

в сечениях элемента DB

Эпюра показана на рис. 7.6., в.

Далее изобразим грузовое состояние основной системы и построим эпю­ру Мр (рис. 7.6.,г). Сначала определим опорные реакции:

откуда

откуда