Введение (стр. 13 )

3. Примеры определения перемещений в статически определимых системах

Пример 6.1.

Определить угол поворота сечения В бал­ки, защемленной одним кон­цом (рис.6.2, а) и нагруженной равномерно распре­деленной нагрузкой интен­сивностью q =2 кН/м. Жест­кость балки постоянна.

Рис. 6.2. Расчетная схема балки к примеру 6.1.

Решение

1-е состо­яние балки (действительное) показано на рис.6.2, а. Что­бы получить 2-е состояние (единичное), изображаем балку без заданной нагрузки, приложив в сече­нии В единичный момент т = 1 (рис.6.2, б).

Изгибающий момент в произвольном сечении 1-го состояния балки

Для 2-го состояния

Подставив эти значения в формулу (19), найдем после интегрирования угол поворота сечения В:

Пример 6.2.

Определить про­гиб свободного конца балки, защемленной одним концом (рис. 6.3, а). Жесткость балки постоянна.

Рис.6.3. Расчетная схема балки к примеру 6.2.

Решение

На рис. 6.3, б изображаем 2-е состояние бал­ки, приложив в точке В еди­ничную сосредоточенную силу. В действительном состоянии балка имеет два участка.

Для участка СВ: М1 = —Рх,; для участка AC: M1 = — Рх — Р(х— b)= — 2Рх+ Рb .

Во втором состоянии для обоих этих участков М2 = — 1∙х= х

Искомое перемещение:

Пример 6.3.

Определить прогиб в середине пролета балки изображенной на рис.6.4., а. Жесткость балки постоянна.

Рис.6.4. Расчетная схема балки к примеру 6.3.

Решение

По направлению искомого перемещения прикладываем посредине балки во 2-м состоянии единичную сосредоточенную силу (рис. 6.4., б). Опорные реакции для действительного состояния: А =В = ql/2, для единичного состояния А = В = 1/2. Изгибающий момент в произвольном сечении действительного состояния балки:

Во 2-м состоянии балка имеет два рав­ных участка.

Для левого участка:

Ввиду симметрии балки величина ин­теграла для правой ее половины будет та­кая же, как и для левой. Поэтому интег­рирование будем вести в пределах левой половины балки, поставив перед интегра­лом коэффициент 2.

Итак, искомое перемещение:

Пример 6.4.

Определить вертикальное перемещение точки В рамы, изображенной па рис.6.5, а. Жесткость стойки АС и ригеля СВ равна соответственно 2EJ и EJ.

Решение

Во вспомогательном (2-м) состоянии приложим в точке S. вертикальную единичную силу (рис. 6.5, б). Составим выражения изгибающих моментов.

Для ригеля:

а) от заданной нагрузки:

б) от единичной нагрузки

Для стойки:

а) от заданной нагрузки:

б) от единичной силы:

Рис. 6.5. Расчетная схема рамы

Искомое перемещение:

Пример 6.5.

Определить. горизонтальное перемещение точки В рамы, изображенной на рис.6.6, а. Жесткость стержней АС и CD равна 2EJ, жесткость стержня DB равна EJ.

Рис.6.6. Расчетная схема рамы

Решение

Вычертим 2-е состояние рамы (рис.6.6., б), приложив в точке В горизонтальную единичную силу Р =1.

Определяем опорные реакции:

а) от заданной нагрузки

∑X=, откуда

∑, откуда

∑, откуда

б) от единичной силы:

∑X=

Так как линия действия силы Р = 1 проходит через центры обоих опорных шарниров А и В, то ее моменты относительно этих центров равны

нулю, следовательно,

Составим выражения изгибающих моментов.

Для стойки АС:

а) для заданной нагрузки

б) от единичной силы

Для ригеля CD:

а) от заданной нагрузки:

б) от единичной силы:

Для стойки BD:

а) от заданной нагрузки:

б) от единичной силы:

Искомое перемещение:

Пример 6.6.

Определить угол поворота свободного конца балки, изображенной на рис. 6.2., а способом . Жесткость балки постоянна.

Решение

Вычисляем изгибающие моменты от заданной нагрузки. Изгибающий момент в произвольном сечении балки:

при x=0 MB=0

при х = 2,5 м Мх = —2,52 = —6,25 кН∙м;

при х = 5 м Ма = — 52 = — 25 кН∙м.

По полученным данным строим эпюру Мр (рис.6.7, б).

Рис. 6.7. Расчетная схема к пр.6.6.

Вычерчиваем балку в единичном состоянии (рис. 6.7., в) и вычисляем изгибающие монеты в характерных сечениях:

Эпюра приведена на рис. 6.7., г.

Вычисляем с помощью таблицы 1 площадь ω эпюры Мр

ω = l ·h/3 = 5х25/3 = 41,7 кН м3

Ординату у берем из прямолинейной эпюры (у = 1). Так как обе эпюры отложены по одну сторону от оси (они имеют оди­наковый знак), то искомое перемещение будет положительным:

∆1p = φв = (1/ E·I ) 41.7 · 1 = 41,7/ E·I

Такой же результат был получен и в примере 6.1.

Таблица 3

Вид эпюры изгибающих моментов	Площадь эпюры ω	Абсциссы центра тяжести эпюры
X1	X2
	Lh Lh/ 2 Lh/ 3 2Lh/ 3 2Lh/ 3 2Lh/ 3	L/2 L/3 L/4 L/2 3Lh/ 8 L/2	L/2 2L/3 3L/4 L/2 5Lh/ 8 L/2

Пример 6.7.

Определить прогиб свободного конца балки, изображен­ной на рис. 6.8., а. способом . Жесткость балки постоянна.