Введение (стр. 5 )

3. Пример расчета 3.1.

Определить внутренние усилия и построить эпюры в арке, расчетная схема которой представлена на рис. 3.2.

Определение опорных реакций. Под действием заданной плоской системы сил

арка находится в равновесии. Нагрузки, приложенные к арке, вызывают реакции опор RА и RВ, каждую из которых всегда можно представить вертикальной VA (или VB ) и горизонтальной HA (или HB ) составляющими.

F1 = 5 кН F2 = 9 кН F3 = 6 кН F4 = 10 кН l = 24 м f = 8 м α1 = 3 м α2 = 9 м α3 = 14 м α4 = 18 м

 

Рис. 3.2. Расчетная схема арки

Арка является распорной конструкцией, поэтому при действии на нее любой нагрузки в опорах возникают горизонтальные состав­ляющие опорных реакций, которые называются распором.

При действии на арку только вертикальной нагрузки горизонталь­ные составляющие обязательно должны быть равны между собой НА = НВ.

Для определения опорных реакций отбросим связи, наложенные на арку, а их действия заменим силами (реакциями связей) (рис.3.3.).

Рис.3.3. Расчетная схема арки

Так как арка находится в равновесии, то система сил, дейст­вующих на арку (внешних и реакций связей), является уравновешенной. Из условия равновесия плоской системы сил определим реак­ции опор. Вертикальные составляющие опорных реакций можно опре­делить из условий равенства нулю суммы моментов всех сил отно­сительно центров правого и левого опорных шарниров т. е.:

1)  ∑МВ = 0

2)  ∑МА = 0,

где ∑МВ – сумма моментов всех сил относительно точки В;

∑МА – сумма моментов всех сил относительно точки А.

1)  VA · l – F1 · в1 – F2 · в2 – F3 · в3 – F4 · в4 = 0

2)  VВ · l – F1 · α1 – F2 · а2 – F3 · а3 – F4 · а4 = 0

Из первого уравнения определим величину вертикальной реакции опоры А:

VА = 15 кН

Из второго уравнения определим величину вертикальной реакции опоры В:

VВ = 15 кН

После вычисления вертикальных составляющих опорных реакций следует убедиться в правильности их определения, т. к. ошибка в определении их приведет к ошибкам и в определении горизонталь­ных составляющих опорных реакций, и в вычислении внутренних усилий Nк, Qк и Мк во всех сечениях арки.

Для правильности проверки полученных результатов рекомендует­ся составить уравнение равновесия, которое не использовалось при определении вертикальных составляющих опорных реакций. Так, например, если вертикальные опорные реакции определены вер­но, то сумма проекций всех сил на вертикальную ось должна быть тождественно равна нулю, т. е.:

∑Fy = 0

VА + VВ – F1 – F2 – F3 – F4 = 15 + 15 – 5 – 9 – 6 – 10 = 0.

Результат проверки свидетельствует о том, что вертикальные составляющие опорных реакций определены верно.

Если рассматривать арку в целом, то действующих уравнений статики недостаточно для определения горизонтальных составляющих опорных реакции, т. е.:

∑Fx = 0 НА – НВ = 0 НА = НВ.

Но если рассмотреть каждую часть в отдельности, то будем иметь шесть уравнений равновесия.

Из курса теоретической механики известно, что если вся система находится в равновесии, то любая ее часть должна находиться в равновесии. Рассечем арку по замковому шарниру «С» и рассмотрим равновесие одной части арки. Целесообразнее рассматривать равновесие той части арки, на которую действует меньше сил.

В нашем случае безразлично, какую часть арки рассматри­вать, так как на ту и другую часть действуют по две сосредоточен­ных внешних силы и по две составляющих опорных реакций.

Рис. 3.4. Часть арки АС

Рассматриваем равновесие части арки АС. Отбрасывая правую полуарку ВС, дейст­вие ее на левую полуарку заменяем усилиями Vc и Нс, возникающими в шарнире «С» (рис. 3.4.). Составляем уравнение момен­тов всех сил, действующих на левую полуарку относи­тельно точки «С» и приравня­ем его нулю, т. е.:

НА = НВ = Н = 18 кН

Чтобы убедиться в правильности определения горизонтальных составляющих опорных реакций, нужно рассмотреть равновесие, напри­мер, правой (относительно шарнира С) части арки. Из уравнения равновесия получаем:

–15 · 12 + 18 · 6 + 6(12 – 10) + 10(12 – 6) = 0

Вывод: горизонтальные составляющие опорных реакций определены верно.

Определение внутренних усилий М, Q и N и построение эпюр

Для построения эпюр внутренних усилий в арке необходимо вычислить значения усилий в характерных усилиях арки, для примера характерными сечениями являются опорные и промежуточные шарниры арки и точки приложения сосредоточенных сил.

Точность построения эпюр усилий и точность расчёта зависит от количества сечений арки, в которых определяются уси­лия. Чем больше сечений, тем точнее расчет. Если характерных се­чений недостаточно, то нужно определить дополнительные сечения. Для этого целесообразно весь пролет арки разделить на равные части. Из полученных точек деления пролета восстановить перпендикуляры до пересечения с осью арки. Полученные точки на оси арки и будут являться дополнительными точками (сечениями). Они могут совпадать с характерными сечениями.

Рис. 3.5. Положение сечений арки

В нашем примере весь пролет арки разделим на части, равные 3 м, полученные сечения арки обозначим цифрами 1, 2, 3,.. и т. д. Положение сечений арки определяется координатами Х и У относительно начала осей координат (рис. 3.5.).

Координаты «X» всех сечений арки известны, они получены в результате деления горизонтальной проекции оси арки. В то время, как координаты «У» всех сечений неизвестны, их нужно определить. Так как ось арки очерчена по квадратной параболе, а уравнение квадратной параболы:

(8)

- тo, подставляя значения «Х» для каждого сечения в данное уравнение, можно определить значения «У» для каждого сечения. Например, для произвольного сечения «К»:

(9)

Построение эпюр следует начинать с эпюры изгибающих моментов М:

·  Изгибающий момент в сечении рамы вычисляется как алгебраическая сумма моментов относительно центра тяжести сечения всех сил, приложенных к отсеченной части. Ординаты эпюры изгибающих моментов откладываются со стороны растянутого волокна.

·  Поперечная сила в любом сечении арки равна сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от сечения, на нормаль к оси арки в рассматриваемом сечении.

·  Продольная сила в любом сечении арки равна сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от сечения, на касательную к оси арки в этом сечении

Правила знаков при определении усилий такие же, что и при определении знаков усилий в балках, т. е.:

ü  изгибающий момент считается положительным, если он растягивает нижние волокна арки, т. е. уменьшает ее кривизну;

ü  поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть стержень по ходу часовой стрелки;

ü  продольная сила считается, положительной, если она направлена от сечения, т. е. стремится растянуть стержень.

Определим величину изгибающего момента в сечении I (рис. 3.6.).

Х1 = 3 м

Рис. 3.6. Определение величины изгибающего момента в сечении I

Изгибающий момент в сечении I:

М1 = VА· Х1 – НАУ1 = 15 · 3 – 18 · 2,625 = –2,25 кН·м

Учитывая, что VАХ1 = М1бал выражение для М1 можно записать в виде М1 = М1бал – Н ·У, где М1бал – изгибающий момент в сечении I простой балки пролётом l.

Последнее выражение удобно при вычислении значений изгибающих моментов в табличной форме.

Для удобства вычисления продольной и поперечной силы приведем все внешние силы, действующие по одну сторону от сечения к центру в точке I (рис. 3.7. б, в).

Рассматривая схему «б» рисунка 3.7, определяем значение попереч­ной силы справа от сечения I, проектируя все силы на ось ОУ:

Учитывая, что запишем ,