Введение (стр. 6 )

где Qбал. пр. – поперечная сила в сечении I простой балки про­летом l.

φ1 – угол между касатель­ной к оси арки в данном сече­нии и

горизонталью.

Рис. 3.7. Определение поперечной и продольной силы в сечении 1

а) схема сечения; б) схема определения Q; в) схема определения N

Для определения поперечной силы слева от сечения Q1лев рассмотрим схему в рисунка 3.7.:

или

Для определения продольной силы N1 спроектируем все силы, действующие на отсеченную часть арки, на ось ОХ, совпадающую с касательной в данном сечении.

Рассматривая схемы б и в рисунка 3.7., определим N1пр и N1лев:

или

или .

Численные значения sinφк и cosφк можно определить, используя формулы тригонометрических функций:

где .

Если ось арки задана в виде окружности, то значения Ук, sinφк и cosφк вычисляются согласно примечаниям.

Правильность вычисления значений sinφк и cosφк можно проверить по известному выражению:

sin2 φк + cos2 φк = 1.

Для сечения I в нашем примере:

Проверка:

Вывод: значения sinφ1 и cosφ1 определены верно.

Подставляя полученные значения sinφ1 и cosφ1 в выражения для определения Q и N в сечении I получим:

Q1лев = 15 · 0,8 – 18 · 0,6 = 1,2 кН

Q1прав = 15 · 0,8 – 5 · 0,8 – 18 · 0,6 = –2,8 кН

N1лев = –15 · 0,6 – 18 · 0,8 = –23,4 кН

N1прав = –15 · 0,6 + 5 · 0,6 – 18 · 0,8 = 20,4 кН

Аналогично определяются усилия во всех сечениях арки.

Сечение 2.

М2 = 15 · 6 – 18 · 4,5 – 5 · 3 = –6 кНм

Q2 = 15 · 0,89 – 18 · 0,446 – 5 · 0,89 = 0,87 кН

N2 = –15 · 0,446 + 5 · 0,446 – 18 · 0,89 = –20,48 кН

Сечение 3.

М3 = 15 · 9 – 18 · 5,625 – 5 · 6 = 3,75 кНм

Q3лев = 15 · 0,97 – 5 · 0,97 – 18 · 0,24 = 5,38 кН

Q3прав = 15 · 0,97 – 5 · 0,97 – 9 · 0,97 – 18 · 0,24 = –3,35 кН

N3лев = –15 · 0,24 + 5 · 0,24 – 18 · 0,97 = –19,86 кН

N3прав = 17,7 кН

Ус = f = 6 м

tgφc = 0

sinφc = 0

cosφc = 1

Mc = 0

Qc = VА – F1 – F2 = 15 – 5 – 9 = 1

Сечение 4.

М4 = Vв · 10 - Нв · У1 – F4 · 4 = 15 · 10 – 18 · 5,83 – 10 · 4 = 5,1 кН

Q4лев = –Vв · cosφ4 + Hв ·sinφ4 + F4 · cos φ4 + F3 · cos φ4 =

= –15 · 0,99 + 18 · 0,17 + 10 · 0,99 + 6 · 0,99 = 4,05 кН

Q4прав = –Vв · cosφ4 + Hв ·sinφ4 + F4 · cos φ4 + =

= –15 · 0,99 – 18 · 0,17 + 10 · 0,99 + 6 · 0,99 = –1,99 кН

N4лев = –Vв · sinφ4 + Hв ·соsφ4 + F4 · sinφ4 + F3 · sinφ4 =

= –15 · 0,17 – 18 · 0,99 + 10 · 0,17 + 6 · 0,17 = –17,68 кН

N4прав = –15 · 0,17 – 18 · 0,99 + 10 · 0,17 = –18,67 кН

Сечение 5.

М5 = Vв ·9 – Нв · У5 – F4 ·3 = 15 · 10 – 18 · 5,8825 – 10 · 3 = 3,75 кН

Q5 = –15 · 0,97 – 18 · 0,24 + 10 · 0,97 = –0,53 кН

N5 = –15 · 0,24 – 18 · 0,97 + 10 · 0,24 = –18,7 кН

Сечение 6.

М6 = Vв · 6 – Нв · Ув = 15 · 6 – 18 · 4,5 = 9,0 кН

Q6лев = –Vв · cosφ6 + Hв ·sinφ6 + F4 · cos φ6 =

= –15 · 0,89 + 18 · 0,446 + 10 · 0,89 = 3,58 кН

Q6прав = –Vв · cosφ6 + Hв ·sinφ6 = 15 · 0,89 – 18 · 0,446 = –5,32 кН

N6лев = –Vв · sinφ6 + Hв ·соsφ6 + F4 · sinφ4 =

= –15 · 0,446 – 18 · 0,89 + 10 · 0,446 = –17,68 кН

N4прав = –15 · 0,17 – 18 · 0,99 + 10 · 0,17 = –18,25 кН

Сечение 7.

У7 = У1 = 2,625 м

tgφ7 = –tgφ1 = –0,75

sinφ7 = –sinφ1 = –0,6

cosφ7 = cosφ1 = 0,8

М7 = Vв ·3 – Нв · У7 = 15 · 3 – 18 · 2,625 = –2,25 кН

Q7 = –Vв · cos φ7 + Hв · sin φ7 = –15 · 0,8 + 18 · 0,6 = –1,2 кН

N7 = –Vв · sinφ7 – Нв ·cos φ7 = –15 · 0,8 – 18 · 0,8 = –23,4 кН

Сечение 8.

У8 = 0

tgφ8 = –tgφА = 1

sinφ8 = –sinφА = –0,71

cosφ8 = cosφА = 0,71

М8 = 0

Q8 = –Vв · cos φ8 + Hв · sin φ8 = –15 · 0,71 + 18 · 0,71 = 2,13 кН

N8 = –Vв · sinφ8 – Нв ·cos φ8 = –15 · 0,71 – 18 · 0,71 = –34,08 кН

Целесообразно результаты вычислений свести в таблицу (см. таблицу 1).

По полученным данным строим эпюры усилий в двух вариантах:

1)  На самой оси арки;

2)  На горизонтальной базисной линии.

Примечание: При определении усилий в сечениях 4, 5, 6, 7 и 8 значения sinφк берутся без учета знака «минус», если учитывать внешние си­лы, действующие справа от рассматриваемых сечений. В этом случае угол φк становится больше 90º (рис.3.8.).