Введение (стр. 8 )

Положительные ординаты эпюры М откладываются со стороны штриховой линии, положительные ординаты эпюр Q и N – со стороны, противоположной низу стержня (штриховой линии).

Усилия в стержнях, вплотную примыкающих к узлам рамы, следует обозначать принятыми буквами (М, Q, N), сопровождая их индексами в соответствии с названием узла и номера стержня.

Например:

Mc2 = –32 кН – изгибающий момент во втором стержне в сечении, примыкающем к узлу С (рис.4.4.).

Рис. 4.4. Эпюра моментов

Qс2 – поперечная сила во втором стержне в сечении, примыкающем к узлу С.

Построение эпюры необходимо проверить как с точки зрения соответствия всех эпюр характеру нагрузок, так и с точки зре­ния равновесия всех узлов, отдельных частей и всей рамы в целом.

При проверке соответствия всех эпюр характеру нагрузок необходимо руководствоваться следующим:

Для эпюры М:

ü  в пределах незагруженного участка прямолинейного стержня эпю­ра должна изменяться по линейному закону;

ü  в месте приложения сосредоточенной силы эпюра имеет излом по направлению действия этой силы;

ü  в месте приложения сосредоточенного момента эпюра имеет скачок, равный по величине этому моменту;

ü  на участках воздействия равномерной нагрузки эпюра изображает­ся параболой, выпуклость которой обращена в сторону действия нагрузки;

ü  в шарнирах изгибающие моменты должны быть равны нулю.

Для эпюры Q:

ü  в пределах незагруженного прямолинейного участка стержня зна­чение Q должно быть постоянным;

ü  в местах приложения сосредоточенной силы эпюра имеет скачок, равный проекции силы на нормаль к оси стержня;

ü  на прямолинейной участке, загруженном равномерной нагрузкой, эпюра меняется по линейному закону;

ü  в тех сечениях стержня, где Q равна нулю или меняет знак, изгибающий момент должен иметь максимальное или минимальное значение.

Для эпюры N:

ü  в пределах незагруженного прямолинейного участка стержня или при нагрузке, действующей к оси стержня по нормали, значение N должно быть постоянным;

ü  в месте приложения сосредоточенной силы, направленной не по нормали к оси стержня, эпюра имеет скачок, равный проекции си­лы на ось стержня;

ü  на прямолинейном участке, загруженном равномерной нагрузкой, если она действует не по нормали к оси стержня, эпюра меняется по линейному закону.

4. При проверке равновесия узлов рамы следует выразить каждый ее узел сечениями, бесконечно близко расположенными к центру узла, приложить к узлу действующие на него сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты и усилия М, Q и N, возникаю­щие в поперечных сечениях.

Рекомендуется векторы усилий, действующих на узел, показать с учетом их знаков и с указанием численного значения этих усилий. При этом следует учесть, что направление положительного момента должно быть таким, чтобы вызывать растяжение волокон стержня, отмеченных штриховой линией, положительное значение Q стремится вращать узел по часовой стрелке, а положитель­ное значение N вызывает растяжение.

При равновесии узла уравнения проекций на горизонтальную ось, уравнения проекций на вертикальную ось и уравнения момен­тов относительно центра узла при подстановке найденных значе­ний усилий должны обращаться в тождества.

5.  Эпюры М, Q и N должны быть выполнены с обязательным численным обозначением характерных ординат на концах всех стержней, под сосредоточенными силами и моментами, в середине участка с распределенной нагрузкой.

6.  Ось стержня принимается за ось абсцисс. Вычисленные ординаты эпюр откладываются перпендикулярно к оси рассматриваемого стержня. Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх от оси ригеля и влево от оси стойки. Знак на эпюре ставится.

Ординаты эпюры М откладываются со стороны растянутых волокон. Знак на эпюре не ставится.

Ординаты эпюры N откладываются симметрично по обе стороны от оси рассматриваемого стержня. Знак на эпюре N обязателен.

7.  Штриховка эпюр производится перпендикулярно к оси стержня.

3. Пример 4.1.

Определить внутренние усилия и построить эпюры М, Q и N в простейшей стати­чески определимой раме, расчетная схема которой представлена на рис.4.5.

l1 = 6 м; l2 = 3 м; h1 = 6 м; h2 = 6 м;

F = 30 кН q = 2 кН/м

Рис. 4.5. Расчетная схема рамы

Решение.

1. Проверка статической определимости и геометрической неизменяемости рамы.

Определяем степень свободы системы по формуле:

n = 3Д – 2Ш – Соn , (15)

где n – степень свободы системы;

Д – число дисков;

Ш – число простых шарниров, не считая опорных;

Con – число опорных стержней.

n = 3 · 1 – 2 · 0 – 3 = 0

Степень свободы системы равна нулю. А так как рама представляет собой жёсткий диск, который прикреплен к земле с помощью трех стержней, оси которых не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу, то данная рама является системой статически определи­мой и геометрически неизменяемой.

2.Определение опорных реакций.

Освобождаем раму от опорных связей, а их действие заменяем реакциями отброшенных связей. Направление реакции шарнирно-неподвижной опоры А заранее указать нельзя, поэтому изображаем две взаимно перпендикулярные составляющие этой реакции НА и VВ.

Реакция шарнирно-подвижной опоры «В» действует по вертикали вверх (рис.4.6.).

Рис. 4.6. Схема определения опорных реакций

Теперь раму можно рассматривать как свободное твердое тело, находящееся в равновесии под действием заданной нагрузки и трех неизвестных, составляющих реакции опор НА, VA и VВ.

Для определения неизвестных необходимо составить три уравнения ста­тики, из совместного решения которых найдутся искомые величины.

Правильным выбором условий равновесия иногда удается уйти от реше­ния системы уравнений, свести задачу к решению независимых уравнений. Так в нашем примере правильным выбором условий равновесия мож­но добиться того, чтобы в каждое уравнение вошла лишь одна неизвестная величина. Это в значительной степени упростит решение задачи.

1. ∑Х = 0 –НА = 0 НА = F = 30 кН

2. ∑МА = 0

3. ∑МВ = 0

Проверка. Для проверки правильности найденных значений реакций опор составим уравнения проекций на вертикальную ось:

∑У = 0 –VA – q(l1 + l2) + VВ = –10,5 – 2(6 + 3) + 28,5 = 0

0 = 0

Произведенная проверка показывает, что реакции опор определены вер­но. При подстановке в уравнение найденных значений усилий получено тождество.

3. Определение изгибающих моментов и построение эпюры М.

При построении эпюры изгибающих моментов раму необходимо разбить на участки, в пределах которых выражения для изгибающего момента остается неизменным. Выражения для изгибающего момента будут меняться в сечениях, где:

а) приложена сосредоточенная сила или сосредоточенный момент;

б) начинается или заканчивается участок с распределенной нагрузкой;

в) происходит излом оси рамы.

Разбивка рамы на участки показана на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Разбивка рамы на участки

Номера участков обозначены цифрами. Штриховыми линиями показаны «нижние» волокна стержней.

Знак изгибающего момента определяется по его воздействию на «нижнее» волокно стержня в пределах рассматриваемого участка. Если «нижнее» волокно под действием изгибающего момента растянуто, то знак плюс, если сжато – минус.

Ординаты эпюры изгибающих моментов откладываются со стороны растянутого волокна.

Рассмотрим определение изгибающих моментов в раме по участкам.

I участок (рис. 4.8.).

Рис. 4.8. Участок I

0 м ≤ У1 ≤ 3 м; М1 = НА · У1

Изгибающий момент имеет знак плюс, так как момент, создан­ный силой НА = 30 кН, вызывает растяжение «нижнего» волокна стержня.

Характер изменения изгибающего момента – прямая линия, для построения которой необходимо знать значения момента M1 в двух точках:

У1 = 0 м МА1 = 30 · 0 = 0 кНм

У1 = 3 м МА1 = 30 · 3 = 0 кНм

II участок (рис. 4.9.). 3 м ≤ У2 ≤ 6 м;

Рис. 4.9. Участок II

М2 = НА · У2 – F(У2 – 3)

У2 = 3 м МК2 = 30 · 0 – 30 ·(3 – 3) = 90 кНм

У2 = 6 м МС2 = 30 · 6 – 30(6 – 3) = 90 кНм

Сила НА создает положительный момент, сила F – отрицательный.