Глава 3. Аналитическая геометрия (стр. 2 )

. (3.11)

3.1.2. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые и заданы общими уравнениями ,

. При этом и - их нормальные векторы. Тогда угол между прямыми и равен углу между и , значение которого выражается через их скалярные произведения:

. (3.12)

Если векторы и коллинеарны, то их координаты пропорциональны - условие параллельности прямых и . Если же и ортогональны, то - условие перпендикулярности прямых и . Рассмотрим теперь, как выражаются углы между прямыми, заданными уравнениями в каноническом виде. Пусть

и . Тогда здесь аналогичную роль играют направляющие вектора этих прямых и :

; (3.13)

- условие параллельности прямых и , - условие перпендикулярности этих прямых. Если же прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

, , то угол между ними определяется как . Тогда

или

. (3.14)

Равенство - есть условие параллельности прямых и , - условие их перпендикулярности.

3.1.3. Отклонение точки от прямой

Рассмотрим уравнение прямой в нормальном виде

. Введем фундаментальное понятие отклонения

произвольной точки M от данной прямой L. Пусть d обозначает расстояние от т. M до L. Назовем отклонением точки M от прямой L число +d в случае, когда точка M и начало координат лежат по разные стороны от прямой L и число –d в случае, когда точка M и начало координат лежат по одну сторону от прямой L. Если же начало координат O лежит на прямой L, то положим , если M лежит по ту сторону от L, куда направлен вектор и в противном случае.

Теорема. Левая часть нормального уравнения (3.11) прямой L равна отклонению точки M с координатами от прямой L , если координаты этой точки подставить в левую часть этого уравнения, т. е.:

Доказательство. Спроектируем точку M на луч, определяемый единичным вектором . Тогда .

Но . Отсюда получаем, что . При этом расстояние от точки до прямой равно модулю отклонения, т. е. .

Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду поступим следующим образом. Уравнение и определяют одну и ту же прямую. Умножим первое из них на некоторый множитель t. Тогда , , , откуда и . Знак у множителя t выбирается так, чтобы выполнялось условие (расстояние всегда положительное), т. е. выбирается знак, противоположный знаку C (). Тогда отклонение какой-либо точки от прямой определяется как

. (3.15)

Расстояние от этой точки до прямой есть .

3.2. ЗАДАЧИ

1. Для прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом :

а) выписать угловой коэффициент; определить, острый или тупой угол образует прямая с положительным направлением оси ;

б) записать уравнение в общем виде; выписать координаты вектора нормали;

в) записать уравнение в отрезках; нарисовать прямую;

г) записать уравнение в каноническом виде; выписать два различных направляющих вектора;

д) записать уравнение в параметрическом виде.

2. Даны: , , , , . Записать и привести к общему виду:

а) уравнение прямой с вектором нормали , проходящей через точку ;