Глава 3. Аналитическая геометрия (стр. 7 )

11. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми и определяется как расстояние между двумя параллельными плоскостями, одна из которых принадлежит прямой , другая – прямой .

Такие плоскости являются верхней и нижней гранями параллелепипеда, построенного на векторах и . Действительно, точки и лежат на этих гранях соответственно, а обе прямые параллельны плоскостям этих граней, поскольку их направляющие векторы параллельны им и, следовательно, прямые лежат в этих плоскостях. Расстояние между верхней и нижней гранями есть высота параллелепипеда, которая равная отношению его объема к площади основания (грани): .

3.6. ЗАДАЧИ

1. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку

параллельно:

а) вектору ; б) прямой ;

в) оси ; г) прямой .

2. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки , .

3. Составить параметрические уравнения прямой .

4. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку

параллельно прямой .

5. Определить взаимное расположение прямой и плоскости (пересекаются, параллельны, прямая лежит в плоскости). Если прямая и плоскость пересекаются, то найти точку пересечения и угол между ними; если параллельны, то найти расстояние между ними:

а) , ;

б) , ;

в) , .

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и:

а) перпендикулярно к прямой ;

б) проходящей через прямую .

7. Найти расстояние от точки М(-25;7;10) до прямой .

8. Найти точку N, симметричную точке М(1;3;-4) относительно плоскости .

Домашнее задание.

9. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки , .

10. Составить параметрические уравнения прямой .

11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости .

12. Даны вершины треугольника А(3;6;-7), В(-5;2;3), С(4;-7;-2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С.

13. Определить взаимное расположение прямой и плоскости (пересекаются, параллельны, прямая лежит в плоскости). Если прямая и плоскость пересекаются, то найти точку пересечения и угол между ними; если параллельны, то найти расстояние между ними:

а) , ;

б) , ;

в) , .

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельно прямым , .

Ответы. 1. а) ; б) ; в) ;

г) . 2. , .

3. . 4. . 5. а) Параллельны, ;

б) Пересекаются, (2;-3;6), ; в) Прямая лежит в плоскости.

6. а) ; б) . 7. . 8. (-5;1;0).

9. , . 10. . 11. .

12. . 13. а) Пересекаются, (-1;-2;1), ; б) Прямая лежит в плоскости; в) Параллельны, . 14. .

3.7. Кривые второго порядка на плоскости.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и рассмотрим кривую, определяемую неявно общим алгебраическим уравнением второй степени

, (3.35)

где: A, B, C, D, E, F – некоторые числа, причем A, B, C не равны нулю одновременно. Кривая в декартовых координатах, описываемая уравнением (3.35), называется кривой второго порядка. Может случиться так, что уравнению (3.35) не соответствует ни одна точка с вещественными координатами (x, y) и тогда уравнение (3.35) определяет мнимую кривую второго порядка. Например, уравнению не соответствует ни одна точка в декартовой системе координат. В дальнейшем такие кривые не рассматриваются.

Перечислим шесть важных случаев общего уравнения кривых второго порядка (канонические кривые).

1). Уравнение эллипса: с полуосями a, b. При a = b - окружность с центром в начале координат.

2). Уравнение гиперболы: с полуосями a, b.

3). Уравнение параболы: .

4). Уравнение пары пересекающихся прямых: .