Глава 3. Аналитическая геометрия (стр. 8 )

5). Уравнение пары параллельных прямых: или .

6). Уравнение, определяющее точку: .

Рассмотрим вкратце эти канонические кривые и некоторые их свойства.

3.7.1. Эллипс.

Уравнение эллипса

(3.36)

с полуосями a, b. Нетрудно видеть, что это кривая, симметричная относительно начала координат. Такие кривые называются центральными кривыми. Точки , , , называются вершинами эллипса. Пусть для определенности

a > b. Положим и отметим на оси X точки и , отстоящие от начала координат на расстоянии и соответственно. Эти точки называются фокусами эллипса. Эллипс определяется как геометрическое место точек, сумма расстояний которых до фокусов и есть величина постоянная, равная 2а.

Действительно,

, откуда

и

или . Возводя в квадрат обе части, получим .

Так как , то и, поделив обе части на , получим уравнение эллипса . Величина называется эксцентриситетом эллипса () и характеризует «сплюснутость» эллипса вдоль полуоси a. При c = 0 (a = b) имеем уравнение окружности, при () эллипс переходит в отрезок прямой [-a, a]. Уравнение эллипса также можно записать в параметрическом виде

, . (3.37)

Действительно, .

Если начало координат перенести в точку , то в новых декартовых же координатах уравнение эллипса по-прежнему будет иметь канонический вид , а в старых (исходных) запишется как

(3.38)

3.7.2. Гипербола.

Уравнение гиперболы

. (3.39)

Это также центральная кривая. Параметры a и b называются полуосями гиперболы. Точки ее пересечения с осью ОХ с абсциссами x = a и называются вершинами гиперболы, ось OX – ее действительной осью. Ось OY гипербола не пересекает, и эта ось называется мнимой осью гиперболы, а точки и называются ее мнимыми вершинами. Положим и отметим на оси X точки и с абсциссами и соответственно, которые называются ее фокусами. Расстояние между фокусами называется фокальным расстоянием. Гипербола определяется как геометрическое место точек, разность расстояний которых до фокусов и есть величина постоянная, равная 2a.

По определению, имеем, выбирая в качестве расстояния разность , получим первую (правую) ветвь гиперболы. Далее: . Возведем в квадрат обе части или, снова возводя в квадрат, получим . Отсюда . Если исходить из равенства , то аналогичным образом получим вторую (левую) ветвь гиперболы. Уравнение гиперболы можно также записать в виде . Тогда и при получаем уравнения двух прямых , которые являются асимптотами гиперболы. Эксцентриситет гиперболы Нетрудно видеть, что и также характеризует ее «сплюснутость». При гипербола приближается к своему вырожденному состоянию – двум полупрямым на действительной оси.

По аналогии с параметрическим уравнением эллипса, можно записать параметрическое уравнение гиперболы

, (3.40)

Действительно, . Если начало координат перенести в точку , то в новых декартовых же координатах уравнение гиперболы по-прежнему будет иметь канонический вид , а в старых (исходных) запишется как

. (3.41)

3.7.3. Парабола

Каноническое уравнение параболы имеет вид

, (3.42)

которая является нецентральной линией. Точка F на оси абсцисс называется фокусом параболы, а прямая называется директрисой параболы. Тогда парабола определяется как геометрическое место точек M(x, y), равноудаленных от фокуса и директрисы.