Глава 3. Аналитическая геометрия (стр. 4 )

11. а) Параллельны, ; б) Пересекаются, , ;

в) Совпадают. 12. , , .

13. . 14. (2;-2), (-2;0), (-2;2), (-6;4.)

3.3. Плоскость в пространстве

В пространстве с декартовой системой координат OXYZ выберем произвольную фиксированную точку , произвольный фиксированный вектор и произвольную точку пространства . Составим скалярное произведение векторов , и приравняем его нулю. Тогда геометрическое место концов множества векторов , удовлетворяющих этому уравнению, образует плоскость, перпендикулярную вектору и уравнение

. (3.16)

есть векторное уравнение плоскости. Вектор называется нормальным вектором плоскости. В декартовых координатах уравнение (3.16) принимает вид

(3.17)

и называется уравнением плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором . Если раскрыть скобки, то уравнение (3.17) можно записать как

, (3.18)

где - константа. Уравнение (3.18) называется общим уравнением плоскости. Оно называется полным уравнением плоскости, если и неполным в противном случае. Полное уравнение плоскости можно привести к виду или

, (3.19)

где a, b, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях OX, OY, OZ и такое уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Рассмотрим другой способ задания плоскости – с помощью двух направляющих векторов. Пусть заданы два неколлинеарных ненулевых вектора и . Выберем, как и ранее, произвольную фиксированную точку , произвольную точку и построим вектор . Тогда равенство нулю смешанного произведения

(3.20)

определяет плоскость, проходящую через точку параллельно плоскости, в которой лежат векторы и . Поэтому уравнение (3.20) называется уравнением плоскости в векторном виде. Его также можно записать через радиус-векторы точек и M:

. (3.21)

В декартовых координатах это уравнение может быть записано

. (3.22)

Раскрыв этот определитель, получим общее уравнение плоскости (3.18). С другой стороны, равенство нулю определителя означает, что его первая строка является линейной комбинацией остальных двух строк (вторая и третья строки линейно независимы как координаты неколлинеарных векторов) и тогда уравнение плоскости можно записать в виде следующей системы

, (3.23)

где - произвольные параметры и называется уравнением плоскости в параметрическом виде. В векторном виде система (3.23) может быть записана следующим образом

. (3.24)

Заметим, что между нормальным вектором плоскости е ее направляющими векторами и существует простая связь: .

3.3.1. Виды уравнений плоскости

Рассмотрим какие-нибудь три произвольные точки , и , не лежащие на одной прямой. Построим на этих точках два вектора и , которые являются неколлинеарными и их можно использовать в качестве направляющих векторов плоскости. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку с указанными направляющими векторами, запишется в виде

. (3.25)

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

Рассмотрим теперь произвольный единичный вектор

, лежащий на луче, проведенном из начала координат. Выберем на нем произвольную точку P и обозначим через OP = p расстояние от начала координат до этой точки. Далее, проведем через точку Р плоскость, перпендикулярную вектору . Такая плоскость единственная и ее

уравнение есть , где - произвольная точка этой плоскости. Это уравнение можно записать в виде или

. (3.26)

Это и есть уравнение плоскости в нормальном виде или нормированное уравнение плоскости. Если - произвольная точка, не лежащая на плоскости (3.25), то величина

называется отклонением точки от плоскости, определяемой уравнением (3.26). Если , то это означает, что точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и если - то по одну. Если же начало координат O лежит на плоскости, то положим , если лежит по ту сторону от плоскости, куда направлен вектор и в противном случае. Расстояние от этой точки до плоскости . Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному виду, достаточно умножить его, по аналогии с общим уравнением прямой на плоскости, на нормирующий множитель , знак которого выбирается противоположным знаку D. Тогда отклонение точки от плоскости определится как