Глава 3. Аналитическая геометрия (стр. 6 )

или . (3.29)

Уравнение (3.29) называется уравнением прямой в векторном виде. В декартовых координатах это уравнение записывается в виде условия коллинеарности указанных векторов

(3.30)

и называется каноническим уравнением прямой. Любая координата вектора (но не все одновременно) может быть равна нулю. Это означает, что прямая будет проходить параллельно соответствующей координатной плоскости. Уравнение (3.30) также может быть представлено в параметрическом виде (параметрическое уравнение прямой)

, (3.31)

где t - произвольный параметр. Кроме того, как известно, пересечение двух непараллельных плоскостей происходит по прямой и поэтому можно уравнение прямой задать в виде системы двух уравнений первого порядка, каждое из которых является общим уравнением плоскости:

. (3.32)

Покажем, что система (3.32) действительно является уравнением прямой. Поскольку плоскости непараллельные, ранг матрицы системы уравнений (3.32) равен двум. Пусть, например, базисным минором этой системы есть . Тогда общее решение системы (3.32) имеет вид: , где - числа. Его можно записать в виде , это и есть каноническое уравнение прямой.

Получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть это будут точки и . В качестве направляющего вектора прямой возьмем вектор и тогда уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид:

(3.33)

3.5.1. Угол между прямыми в пространстве.

Угол между двумя прямыми

и

определяется углом между направляющими векторами этих прямых:

. (3.34)

\

3.5.2. Некоторые типовые задачи.

1. Угол между прямой и плоскостью. Рассмотрим плоскость и прямую . Угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой определится как . Угол же между прямой и плоскостью . Тогда .

Условие параллельности прямой и плоскости: . Условие перпендикулярности прямой и плоскости : .

2. Условие принадлежности прямой плоскости . Одновременно должны быть выполнены два условия: и . Первое из них означает, что точка прямой и второе, что плоскость и прямая параллельны.

3. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

Две прямые и лежат в одной плоскости, если в одной плоскости лежат векторы , и , т. е. если равно нулю смешанное произведение этих векторов:. Если данный определитель не равен нулю, то прямые не пересекаются и не параллельны. Такие прямые называются скрещивающимися прямыми.

4. Условие пересечения трех плоскостей.

Точка пересечения плоскостей находится из решения системы уравнений Необходимым и достаточным условием ее существования является отличие от нуля определителя этой системы. В противном случае они либо пересекаются по прямой, если ранг матрицы системы равен двум, либо они параллельны, если ранг матрицы равен единице.

5. Пересечение прямой и плоскости.

Чтобы найти точку пересечения плоскости и прямой , нужно перейти к уравнению прямой в параметрическом виде , подставить полученные выражения для координат в уравнение плоскости и найти значение параметра t. Подставив это найденное значение параметра в выражения для координат, найдем искомые значения координаты точки пересечения.

6. Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

Здесь достаточно в качестве направляющего вектора прямой взять нормальный вектор данной плоскости и записать уравнение прямой в каноническом виде: .

7. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

В этом случае искомая плоскость имеет тот же нормальный вектор и ее уравнение записывается в виде .

8. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

В этом случае в качестве нормального вектора плоскости следует выбрать направляющий вектор прямой: .

9. Расстояние от точки до прямой .

Существует два способа. Первый способ. 1). Составляется уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой . 2). Определяется точка пересечения этой плоскости с прямой . 3). Искомое расстояние равно длине отрезка . Второй способ. Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и и может быть вычислено по формуле .

10. Уравнение перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную прямую .

Через точку проводится плоскость, перпендикулярная к прямой и находится точка пересечения ее с прямой . Тогда уравнение прямой, проходящей через точки и , и будет уравнением искомого перпендикуляра.