Глава 3. Аналитическая геометрия (стр. 5 )

(3.27)

и расстояние от точки до плоскости .

3.3.2. Угол между двумя плоскостями

Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями и . Тогда угол между ними будет равен углу между их нормальными векторами и , который определится из скалярного произведения этих векторов

. (3.28)

Отсюда следуют условие перпендикулярности двух плоскостей (ортогональность нормальных векторов) и параллельности двух плоскостей (коллинеарность нормальных векторов) .

3.4. ЗАДАЧИ

1. Составить уравнение плоскости в отрезках, если эта плоскость проходит через точку и имеет нормальный вектор .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и

а) параллельно координатной плоскости ;

б) проходящей через ось .

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и

а) параллельно двум векторам , ;

б) перпендикулярно вектору , где ;

в) перпендикулярно вектору , где О - начало координат;

г) проходящей через точку и параллельно вектору .

4. Определить взаимное расположение плоскостей (пересекаются, параллельны, совпадают). Если плоскости пересекаются, то найти угол между ними; если плоскости параллельны, то найти расстояние между ними:

а) , ;

б) , ;

в) , .

5. На оси найти точку, равноудаленную от плоскостей

и .

6. Найти объем пирамиды, ограниченной плоскостями

, , , .

Домашнее задание.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

, , .

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и

а) параллельно координатной плоскости ;

б) проходящей через прямую в плоскости .

9. Составить уравнение плоскости в общем виде и в отрезках, если плоскость проходит через точку и

а) параллельно двум векторам , ;

б) перпендикулярно вектору , где ;

в) проходящей через точку и параллельно вектору .

10. Определить взаимное расположение плоскостей (пересекаются, параллельны, совпадают). Если плоскости пересекаются, то найти угол между ними; если плоскости параллельны, то найти расстояние между ними:

а) , ;

б) , ;

в) , .

11. Найти плоскость, равноудаленную от плоскостей

и .

Ответы. 1. . 2. . 3. а) ;

б) . 4. а) ; б) ;

в) ; г) .

5. а) Пересекаются, ; б) Совпадают; в) Параллельны, .

6. , . 7. . 8. .

9. а) ; б) . 9. а) ; б) ;

в) . 10. а) Параллельны, ; б) Совпадают;

в) Пересекаются, . 11. .

3.5. Прямая линия в пространстве

Выберем в пространстве произвольную фиксированную точку и фиксированный ненулевой вектор , который будем называть направляющим вектором прямой. Точка тогда и только тогда лежит на прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору , когда векторное произведение векторов и равно нулю: