Глава 3. Аналитическая геометрия (стр. 9 )

Действительно,

,, , то есть, или . Парабола не имеет асимптот. Если начало координат перенести в точку , то в новых декартовых же координатах уравнение параболы также по-прежнему будет иметь канонический вид , а в старых (исходных) запишется как

. (3.43)

3.7.4. Пара пересекающихся прямых

Уравнение определяет пару пересекающихся прямых. Действительно, если этому уравнению удовлетворяет какая-либо точка M(x, y), то она удовлетворяет одному из уравнений или , или обоим этим уравнениям.

3.8. ЗАДАЧИ

1. Написать каноническое уравнение эллипса и построить его:

а) , ; б) , ;

в) , расстояние между директрисами равно 5.

2. Установить, что уравнение определяет эллипс (или окружность); найти его центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис; изобразить эллипс на координатной плоскости:

а) ; б) .

3. Составить уравнение окружности, изобразить ее на координатной плоскости , если:

а) центр окружности находится в точке С(2;-3) и радиус равен 7;

б) окружность проходит через точку А(2;6), а ее центр находится в точке С(-1;2);

в) окружность проходит через три точки А(1;1), В(1;-1), D(2;0).

4. Написать каноническое уравнение гиперболы и построить ее:

а) , ; б) , ;

в) , расстояние между директрисами равно .

5. Установить, что уравнение определяет гиперболу; найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот; изобразить гиперболу на координатной плоскости: .

6. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если:

а) парабола расположена в левой полуплоскости, симметрична относительно оси и имеет параметр ;

б) фокус параболы находится в точке , а осью симметрии является ось .

7. Установить, что уравнение определяет параболу, найти ее параметр, координаты вершины, уравнение директрисы; построить график:

а) ; б) .

8. Дан эллипс . Найти гиперболу, у которой фокусы совпадают с фокусами эллипса и эксцентриситет равен 1.25.

Домашнее задание.

9. Написать каноническое уравнение эллипса и построить его, если , расстояние между директрисами равно 32.

10. Составить уравнение окружности, изобразить ее на координатной плоскости , если точки А(3;2) и В(-1;6) являются концами одного из диаметров окружности.

11. Написать каноническое уравнение гиперболы и построить ее, если , уравнения асимптот .

12. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку М(4;-8).

13. Установить, какую кривую определяет уравнение. Для эллипса и гиперболы найти центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот (для гиперболы); для параболы найти ее параметр, координаты вершины, уравнение директрисы. изобразить кривую на координатной плоскости:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответы. 1. а) ; б) ; в) .

2. а) эллипс: , С(3;-1), , , , , ; б) окружность: , С(2;-3), .

3. а) ; б) ; в) .

4. а) ; б) ; в) .

5. , С(2;-3), , , ,

, , , .

6. а) ; б) . 7. а) , , А(1;3),

; б) , , А(1;2), . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. .

13. а) парабола: , , А(6;-1), ; б) эллипс:

, С(-1;2), , , , ,

; в) гипербола: , С(-5;1), , ,

, , , , ;

г) окружность: , С(4;0), .