Глава 3. Аналитическая геометрия (стр. 1 )

Глава 3. Аналитическая геометрия

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

В этом разделе будем изучать описание и свойства простейших геометрических объектов - прямых и плоскостей с помощью средств математического анализа.

3.1. Прямая линия на плоскости

Введем на плоскости декартову систему координат XOY и выберем в этой системе произвольную фиксированную точку , произвольную точку и некоторый фиксированный вектор . Составим скалярное произведение векторов и , которое приравняем затем нулю . Поскольку точка M выбрана произвольной, все множество векторов будет представлять собой совокупность коллинеарных векторов, лежащих на одной прямой, проходящей через заданную точку . Концы этих векторов соответствуют произвольной точке этой прямой и, следовательно, описывают саму прямую. Тем самым мы получили уравнение прямой в векторном виде, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором:

. (3.1)

Вектор называется нормальным вектором прямой и определяет ее направление на плоскости. Заметим, что из уравнения прямой видно, что длина вектора никакой роли не играет, поскольку уравнение не изменится, если вместо подставить любой коллинеарный ему ненулевой вектор . Перейдем теперь от векторного уравнения прямой к ее уравнению в декартовых координатах, учитывая, что :

. (3.2)

Полученное уравнение первого порядка относительно величин x и y и есть уравнение прямой, проходящей через заданную точку. Если раскрыть скобки, то получим следующее уравнение или

, (3.3)

которое называется общим уравнением прямой. Если в этом уравнении , и , то оно называется полным уравнением и неполным в противном случае.

3.1.1. Виды уравнения прямой.

Полное уравнение прямой всегда можно привести к виду . Полагая , получим уравнение прямой в отрезках

. (3.4)

Числа а и b имеют постой геометрический смысл: a и b есть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат X и Y соответственно. Рассмотрим теперь другой способ задания прямой – с помощью направляющего вектора. Выберем, аналогично предыдущему, произвольную фиксированную точку и некоторую произвольную точку . Запишем уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно некоторому фиксированному ненулевому вектору . Для этого потребуем, чтобы векторы и были коллинеарными, т. е. , где - произвольная вещественная константа. Переходя к декартовым координатам, запишем условие коллинеарности этих векторов, т. е. условие пропорциональности их соответствующих координат, в следующем виде:

, (3.5)

которое называется уравнением прямой в каноническом виде. Заметим, что одна из координат вектора может быть равна нулю. В этом случае запись уравнения (6) остается прежней, например, , что означает, что вектор параллелен оси Y и уравнение (6) можно записать как , т. е. . Это и есть уравнение прямой, параллельной оси Y, пересекающей ось X в точке .

Запишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки , . В этом случае за направляющий вектор прямой можно взять вектор и тогда каноническое уравнение (3.5) запишется в виде:

. (3.6)

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Заметим, что можно записать и эквивалентное ему уравнение .

Каноническое уравнение прямой (3.5) можно записать в виде системы двух уравнений

, (3.7)

где - произвольный параметр, или

, (3.8)

Которое называется параметрическим уравнением прямой.

Если прямая не параллельна оси X, то в общем уравнении прямой (3.3) и, поделив уравнение на B, его можно записать в виде , где .

Из геометрических соображений понятно, что - угловой коэффициент, b – отрезок, отсекаемый прямой на оси координат Y. Полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

(3.9)

Если заданы координаты точки, через которую проходит прямая, то уравнение

(3.10)

есть уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку .

Рассмотрим теперь произвольную прямую L. Проведем из начала координат перпендикулярно прямой L луч с единичным вектором и пусть P - точка его пересечения с прямой L. Направляющие косинусы вектора есть , а его декартовы координаты . Тогда для любой точки M, лежащей на прямой L, , где p – длина отрезка OP (всегда неотрицательная величина!) или

, откуда получаем нормированное уравнение прямой или уравнение прямой в нормальном виде