Практические и самостоятельные работы по математике . . . МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ (стр. 10 )

Задание 5.  Брошены 10 игральных костей. Найти М(Х), D(X), где Х - сумма очков, выпавших на всех игральных костях.

Самостоятельная работа

Задание 1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?

Задание 2. Вероятность того, что будет снег равна 0,6, а того, что будет дождь, равна 0,45. Найти вероятность плохой погоды, если вероятность дождя со снегом равна 0,25.

Задание 3. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

Задание 4. Сколько вариантов распределения 3 призов между 10 участниками?

Задание 5. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Задание 6. В урне 6 черных и 4 белых шара, в другой урне 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны достали по 1 шару. Какова вероятность, что оба шара черные?

Задание 7. В урне 15 красных, 5 белых, 10 зеленых, 10 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутый шар цветной.

Задание 8. Прибор на борту самолета может работать в условиях нормального полета и перегрузки. Нормальный режим осуществляется в 80%, условия перегрузки – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя в нормальном режиме 0,1, а в условиях перегрузки - 0,4. Какова надежность прибора?

Контрольные вопросы

Перечислите основные задачи комбинаторики Что называется n - факториалом? Чему равен n!. Что называется перестановками, размещениями, сочетаниями. Запишите формулы вычисления перестановок, размещений, сочетаний. Что называется событием? Перечислите основные виды событий. Дайте им определения. Приведите примеры событий. В чем заключается алгебра событий? Перечислите основные аксиомы теории вероятностей. Дайте определение полной вероятности. Запишите формулу Байеса. Опишите схему Бернулли. Какие элементарные события повторяются в этих опытах? Запишите формулу Бернулли. Что называется законом распределения случайной величины?

Тема 4.2. Математическая статистика

Статистика - это наука, изучающая количественные показатели развития общества и общественного производства.

Статистическая информация - это числовые данные о массовых явлениях.

Статистические характеристики: среднее арифметическое, размах, мода и медиана.

Модой числового ряда называют число, которое встречается в этом ряду наиболее часто.

Медиана – это число ряда, которое делит его ровно пополам. Чтобы найти медиану числового ряда нужно его сначала упорядочить-составить числа по порядку.

Размах - это разность между наибольшим и наименьшим из чисел.

Ряд данных //ранжированный ряд// - значения всех результатов измерений, перечисленные по порядку.

Генеральная и выборочная совокупности

  Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений,  проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов.

Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки п =100. Число объектов генеральной совокупности N значительно превосходит объем выборки n. Как правило, объём n выборки много меньше объёма N генеральной совокупности (n< N ).

Способы выборки

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной) .

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

На практике применяются различные способы отбора. Эти способы можно подразделить на два вида.

1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор;

  б) простой случайный повторный отбор.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся: 

  а) типический отбор;

  б) механический отбор;

  в) серийный отбор.

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности и после обследования не возвращают (бесповторный отбор) или возвращают (повторный отбор) в генеральную совокупность.

Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности.

Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.

Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь и т. д. Следует указать, что иногда механический отбор может не  обеспечить репрезентативности выборки.

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а  «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.

На практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.

Объекты выборки подвергаются сплошному обследованию, а затем, по результатам этого обследования, делаются определенные выводы и обо всей генеральной совокупности.

Практическая работа №  20

Задачи математической статистики

Задание 1. Найти среднее арифметическое, размах, моду и медиану ряда чисел:  20,18,32,10,45,15,18,12

Задание 2. Найти среднее арифметическое, размах, моду и медиану ряда чисел:  2,2;3,8;1,6;4,4;1,5.

Задание 3.  Рост учащихся нашего класса 157, 165, 165, 168, 165, 161, 165, 160, 162, 169, 171, 170, 170, 175, 173, 170, 177, 182, 186, 182, 160, 173,  165, 162, 174, 177.

1) составить ранжированный ряд ;

2) определить средний рост, моду ряда, медиану ряда.

Практическая работа №  21

Генеральная и выборочная статистические совокупности

Задание 1. Построить график эмпирической функции распределения

Xi	5	7	10	15
ni	2	3	8	7

Задание 2. Построить полигоны частот и относительных частот распределения

Xi	1	3	5	7	9
ni	10	15	30	33	12

Задание 3. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения

2-5	9
5-8	10
8-11	25
11-14	6

Практическая работа №  22

Выборочный метод. Вычисление числовых характеристик

Задание 1. Найти общую среднюю совокупности, состоящей из следующих  двух групп:

Группа	Первая	Вторая
Значение признака	1	6	1	5
Частота	10	15	20	30
Объем	10+15=25	20+30=50

Задание 2. Найти дисперсию по данному распределению

Xi	1	2	3	4
ni	20	15	10	5

Задание 3. Найти внутригрупповую дисперсию по следующим данным

Первая группа	Вторая группа
Xi	ni	Xi	ni
2	1	3	2
4	7	8	3
5	2

Задание 4. Найти межгрупповую дисперсию по данным предыдущего задания.