Практические и самостоятельные работы по математике . . . МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ (стр. 3 )

Задание 3. Определить сходимость ряда по признаку Даламбера

а)   б) 

Задание 4. Исследуйте сходимость ряда

а) ,

б)

Задание 5. Разложить в ряд Маклорена:

а) f(x)=2x;                б) f(x)= ;        

в) f(x)= Sin x;                г)f(x)=Cos 3x.

Контрольные вопросы

Можно ли утверждать, что ряд сходится, если an=0? Верно ли, что если ряд сходится, то его частичные суммы ограничены? Существует ли степенной ряд, для которого верно утверждение: на обоих концах интервала сходимости ряд расходится? Какие ряды называются знакопеременными, степенными рядами? Перечислить основные признаки сходимости.

Тема 1.3 Дифференциальное и интегральное исчисление

Таблица производных:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

Правила производных:

 

 

 

 

Пример. Вычислить производную функций.

Производная сложной функции

Пусть композиция двух функций.

Если функция дифференцируема по x, а функция дифференцируема по y, то сложная функция дифференцируема по x, причем её производная вычисляется по формуле:

Пример.

Неопределенный интеграл и его свойства

Определение: Интегрирование – это процесс нахождения первообразованых.

Таблица неопределенных интегралов:

. . ,. . , . . . . . . . . .

Свойство неопределенного интеграла:

       1.                                2.

       3.                4.

Пример.

Определение. Фигура, ограниченная снизу отрезком оси ох, сверху графиком функции , с боков отрезками х=а,  х=b, называется криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

Разность называется интегралом от функции F(x) и обозначается .

Формула Ньютона – Лейбница:

.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком

 

Свойства определенного интеграла  аналогичны свойствам неопределенного интеграла.

Практическая работа №  4

Нахождение дифференциалов функций. Нахождение

производных высших порядков

Задание 1. Найдите производные функции:

а) у=2х+4;

б) у=5х2+7х+1;

в) ;

г)  

д) у=(х+3)(х2+8х);

е) у=х2(3х-7х3);

ж) 

Задание 2. Найдите производную сложной функции

а) z=cos 7x; 

б) z=;

в) z=Sin(5x+3);

г) z=;

д) z=tg(5x2); 

е) z=

ж)z=(2x+3)2.

Задание 3. Найдите производную высших порядков

Дана функция y=e3x. Найти y(4) . Найти y(5) для функции y=5x. Найти y(10) для функции y=ln(2x-1).

Практическая работа №  5

Нахождение неопределенных интегралов с проверкой результатов

дифференцированием

Задание.  Вычислить неопределенный интеграл.

а)