Практические и самостоятельные работы по математике . . . МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ (стр. 2 )

1. ,

2. .

В таком случае предел вычисляется следующим способом: в числителе и знаменателе выносим общий множитель.

Практическая работа № 1

Вычисление пределов

Задание 1. Вычислите пределы функции:

Задание 2. Вычислите пределы функции:

Контрольные вопросы

Назовите определение предела функции. Назовите свойства пределов. Что представляет собой число е?

Тема 1.2 Ряды

Числовые ряды

Ряды бывают: числовые, функциональные, степенные, конечные и бесконечные, знакопеременные.

Числовым рядом называется выражение вида a1+a2+a3+…+an+…,  где an - числа. Для сокращенного обозначения рядов используют знак

Пример.

Сумма первых n элементов ряда называется частичной суммой ряда .

       

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, т. е. , где S – сумма ряда. (если предел  не существует или равен , то ряд расходится).

Пример. Определить сходимость ряда .

Докажем сходимость каждого ряда.

Теорема (Необходимый признак сходимости рядов)

Если ряд сходится, то его общий элемент стремится к нулю, т. е. .

Пример. ряд расходится.

Достаточный признак сходимости рядов:

Если р≤1, то данный ряд расходится, если р>1, то - сходится

Признак Даламбера сходимости рядов.

Пусть дан ряд Допустим, что , тогда

Если p<1, то ряд сходится.

Если p>1, то ряд расходится.

Пример.

ряд сходится.

Знакопеременные ряды

Рассмотрим ряд, у которого все элементы по очереди меняют знак: , где . Такой ряд называется знакочередующимся.

Пример.

Теорема (Признак Лейбница)

Пусть знакочередующийся ряд удовлетворяет следующим условиям:

Все элементы ряда убывают .

Общий элемент ряда стремится к 0 при .

Тогда ряд сходится (достаточный признак сходимости ряда).

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд |u1|+|u2|+|u3|+…+|un|+…, составленный из абсолютных величин его членов, т. е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а |u1|+|u2|+|u3|+…+|un|+…, расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящийся.

Степенные ряды

Определение. Степенным рядом называется ряд вида , где числа а0, а1, а2, …, аn, …называются коэффициентами ряда, а член anxn-  общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений х, при которых ряд сходится. Радиус сходимости ряда , ряд сходится при |х|<R.

Ряды Маклорена

Определение. Степенной ряд вида , называется рядом Маклорена.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке х=0; составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу; найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле .

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию у=ех.

Найдем производные: Вычислим значения производных при х=0: . Подставим эти значения в формулу Найдем промежуток сходимости ряда:

, т. е. -∞<x<∞.

Полученный ряд сходится при любых значениях х.

Практическая работа № 2

Исследование рядов на сходимость

Задание 1. Найдите n-й член ряда по его данным первым членам:

а)        б)                в)        

Задание 2. Исследуйте сходимость ряда, используя признак Даламбера:

а)                б)

Задание 3. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды.

; ; .

Практическая работа №  3

Разложение функции в степенной ряд. Ряды Маклорена

Задание 1. Найти промежуток сходимости степенного ряда:

а)    б) 

Задание 2. Разложить в ряд Маклорена функцию:

а)         f(x)=3x;         б) f(x)=e4x;                в) f(x)=e-2x.

Самостоятельная работа

Задание 1. Расписать первые три элемента ряда

а)   б) 

Задание 2. Найдите формулу общего члена ряда по его данным первым членам:

а)                           б)