Практические и самостоятельные работы по математике . . . МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ (стр. 8 )

Задание 1. При измерении помещения нашли длину 60 м, ширину 23 м. Погрешность при измерении длины не превышает 0,3 м, а при измерении ширины 0,2м. Определить границы погрешности, принимая площадь помещения равной 1380 м2, и относительную погрешность, допущенную при вычислении площади.

Задание 2. Для нахождения плотности металла определены его масса 484 г. и масса вытесненной воды 62г. Абсолютные погрешности соответственно равны 0,5г и 0,4г. Найти относительную погрешность при вычислении плотности металла.

Задание 3. Сечение воздухозаборной трубы – квадрат, площадью 37,7 см2. Найдите относительную погрешность при вычислении площади, если абсолютная погрешность равна 0,05 см.

Практическая работа №  16

Определение фактической точности производственных процессов при изготовлении сборных конструкций

Задание 1. Угол, измеренный теодолитом, оказался равным 22o20`30``±30. Какова относительная погрешность измерения?

Задание 2. Определить число верных знаков и дать соответствующую запись приближенной величины ускорения силы тяжести g=9806…  при относительной погрешности 05% .

Задание 3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности объема трубы, если диаметр d=3,7см±0,05см, длина 2м.

Задание 4.  Найти сумму приближенных замеров прибора. Найти количество верных знаков: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0.0714 + 0,0667 + 0.0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526.

Самостоятельная работа

Задание 1. Назовите верные цифры числа π≈3,14, считая π≈3,1416.

Задание 2. За приближенное значение числа 999,82 взято число 1000. Укажите верные цифры числа 1000.

Задание 3.  За приближенное значение числа 38,7 взято число39. Являются ли цифры 3 и 9 верными?

Задание 4.  Найдите абсолютную погрешность округления до единиц числа: а) 0,8; б) 7,6; в) 19,3.

Контрольные вопросы

Дать определение верной цифры в широком смысле. Дать определение верной цифры в строгом  смысле. Дать определение значащих цифр приближенного числа. Какая существует связь с количеством верных знаков числа? В чем состоит обратная задача погрешности?

Раздел 4. Теория вероятностей и математической статистики

Тема 4.1. Теория вероятностей

Основные понятия комбинаторики

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n - факториалом и пишут  .

Пример. Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение. а) .

б) Так как и , то можно вынести за скобки

Тогда получим .

в) .

Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Число перестановок можно вычислить с помощью факториала

Запомним, что 0!=1 и 1!=1.

Пример. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т. е.  .

Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Размещения обозначаются символом , где m - число всех имеющихся элементов, n - число элементов в каждой комбинации. При этом полагают, что nm.

Число размещений можно вычислить по формуле

.

Пример. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т. е.  .

Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n-натуральные числа, причем n m).

В общем случае число из m элементов по n равно числу размещений из m элементов по n, деленному на число перестановок из n элементов.

Сочетания вычисляются по формуле:

.

Пример. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать способами.

Находим по формуле:  . 

Основные аксиомы теории вероятностей

Вероятность события, рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Классическое определение вероятности

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т. е.

.

Пример. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть n=1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим .

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице:

P(A)+P()=1

Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A при условии B и обозначается PB(A) или P(A/B).

Пример. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.

Решение. Пусть А, В, и С - события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. Так как события А, В и С несовместны, то

.

Пример. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.

Решение. События «контрольная работа поступила из города А», «контрольная работа поступила из города В» и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную систему, поэтому сумма их вероятностей равна единице , т. е. .

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А.

Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:

.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

P(AB)=P(A)• PA(B)=P(B)•PB(A)

Пример. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй - 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение. Пусть - из первой урны извлечен белый шар; - из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события   и независимы.