Практические и самостоятельные работы по математике . . . МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ (стр. 4 )

б)  

в)  

г)  

д)   

е)  

ж)  

Практическая работа №  6

Нахождение определенных интегралов

Задание. Вычислить определенный интеграл.

а)

б)

в)  

г)   

Самостоятельная работа

Задание 1. Найти производную

.

Задание 2. Вычислить интеграл

 

Контрольные вопросы

Какое действие называется интегрированием? Дайте определение неопределенного интеграла. Как проверяется результат интегрирования? Какой геометрический образ соответствует интегралу ? Напишите формулу для интеграла ? В чем заключается метод замены переменных при отыскании неопределенного интеграла?

Тема 1.4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее функцию , переменную x и производную f(x).

Если функция зависит только от переменной x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения:

.

Максимальный порядок входящих в уравнение производных называется порядком дифференциального уравнения.

- дифференциальное уравнение первого порядка.

- дифференциальное уравнение второго порядка.

Решить дифференциальное уравнение – значит найти первообразную функции f(x), т. е. вычислить неопределенный интеграл от F(x).

Алгоритм решения дифференциального уравнения:

1.

2. домножаем обе части уравнения на и переносим слагаемые с в другую сторону.

3. переменные, содержащие x переносим к , а переменные, содержащие y к .

4. интегрируем обе части уравнения.

Пример. Решить дифференциальное уравнение.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида . Для решения данного уравнения нужно сначала разделить переменные, а затем проинтегрировать обе части полученного равенства.

Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Пример. Найти общее решение уравнения x(1+y2)dy=ydy.

Разделим переменные .

Интегрируем обе части полученного уравнения: =

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Практическая работа №  7

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

с разделяющимися переменными

Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения.

а) xdx=2ydy                         б)  x2dx=3y2

в) Sinxdx= dy                 г) =

Задание 2. Решите уравнение с разделяющими переменными

а) xdy=ydx                         б)  dy=ydx

в) (1+x2)dy=2xydx                 г) x2dy=(y-2)dx

Задание 3. Найти частное решение дифференциального уравнения

а)  = , при x=0,y=4                б)  y2dx=exdy, при y=1, x=0

Практическая работа №  8

Нахождение частного решения дифференциальных уравнений

первого порядка

Задание 1. Найдите частное решение дифференциального уравнения 1 порядка

а) dy-y ctgxdx=0, y=0, x=                б) (1-y) dx +(1+y) dy=0, y=3, x=1

в) (1-x2) dy=xy dx, y=1, x=0                 г) 4xy dx= (x2+1) dy, y=8,  x=1

Задание 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения 1 порядка

               а) ydy=xdx, y=4, x=-2;                        б) xdy=ydx, y=6, x=2        

               в) (1+y)dx=(1-x)dy, y=3, x=1;                г) y2dx=exdy, y=1, x=0.        

Практическая работа №  9

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 

второго порядка с постоянными коэффициентами