Практические и самостоятельные работы по математике . . . МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ (стр. 6 )

Задание 5.  Упростить формулы:

Контрольные вопросы и задания

Как обозначаются множества? Что называется элементами множеств? Как записываются множества? Какие существуют операции над множествами? Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве  А U В? Задайте множество А описанием: А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }. Чему равно множество М, если М = {х| x∈N, 4х - 14 < 0}

Тема 2.2 Элементы математической логики

Высказывания

Алгебра в широком смысле этого слова – наука об общих операциях. Объектами алгебры логики являются высказывания.

Высказывание - это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними.

Каждому логическому высказыванию ставится в соответствие логическая переменная, которое принимает значение “истина” или “ложь”. А=1 – истина, В=0 – ложь.

Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции. Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Истинные высказывания правильно отражают свойства и отношения реальных вещей.

Ложные высказывания не соответствуют реальной действительности.

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение):

в естественном языке соответствует союзу и, а, но, да; в алгебре высказываний обозначение &; в языках программирования обозначение And.

Конъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Пример: Платон мне друг, но истина дороже.

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение):

в естественном языке соответствует союзу или; обозначение V; в языках программирования обозначение Or.

Дизъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны, и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Пример: Утром я пью чай или кофе.

Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание):

в естественном языке соответствует словам неверно, что… и частице не; обозначение ; в языках программирования обозначение Not.

Инверсия – это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, то есть множеству, получившемуся в результате отрицания множества А, соответствует множество , дополняющее его до универсального множества.

Пример: Неверно, что он храбр и силен.

Импликация – логическое следование:

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации) ложно тогда и только тогда, когда из истинной посылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание)

Пример: Если дует ветер, то листья на деревьях колышутся

Эквиваленция – равнозначность: («тождественно», «тогда и только тогда») - . (то же что <->)

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Пример: Утро наступает тогда, когда всходит солнце.

Пример сложного суждения: Я уже освободился и, если меня не задержат, скоро приеду.

- я уже освободился;  - меня не задержат;  - я скоро приеду 

Ответ: (p&(q⊃r)).

Формула F называется тождественно истинной (или общезначимой или тавтологией) если для любой интерпретации φ выполняется равенство φ (F)=1.

Пример. Формула F=X&Y→X является тождественно истинной.

Алгоритм заполнения таблицы истинности:

Определить количество переменных Количество  строк в таблице определяем по формуле 2n, где n количество переменных Количество столбцов = количество переменных + количество операций Добавляем строку заголовка.

Законы алгебры логики

Закон	для ИЛИ	для И
Переместительный	AvB=BvA	A. B=B. A
Сочетательный	(AvB)vC=Av(BvC)	(A. B).C=A.(B. C)
Распределительный	(AvB).C=A. CvB. C	(A. B)vC=(AvC).(BvC)
Правила де Моргана
Идемпотентности	AvA=A	A. A=A
Исключения третьего и противоречия
Операции с константами	Av1=1 Av0=A	A.1=A A.0=0
Поглощения	Av(A. B)=A	A.(AvB)=A
Склеивания	(A. B)v(.B)=B	(AvB).(vB)=B
Контрапозиции
Двойного отрицания
Формулы упрощения

Примеры упрощения логических формул:

.

Практическая работа №  12

Составление таблиц истинности

Задание 1. Проверить равенство с помощью таблицы истинности

Задание 2. Определите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул являются тождественно-истинными или тождественно-ложными

a) F =  в) F = 

Задание 3. Постройте таблицы истинности для логических формул и упростите формулы, используя законы алгебры логики

Практическая работа №  13

Решение задач с помощью формул алгебры логики

Задание 1. Упростить выражение:

Задание 2. Верно ли равенство?