Практические и самостоятельные работы по математике . . . МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ (стр. 9 )

Так как , , то находим .

Формула полной вероятности

Если событие А может наступить только при появлении одного из несовместных событий  H1, H2, …., Hn, то вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности:

P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+…+P(Hn)P(A/Hn)

где P(Hi) - вероятность события Hi,

P(A/ Hi)- условная вероятность события A при выполнении события Hi (i = 1, 2, …, n).

Проиллюстрируем формулу полной вероятности на графе с выделенной вершиной:

Полная вероятность события А равна весу всего вероятностного графа с гипотезами.

С формулой полной вероятности тесно связана формула Бейеса:

P(Hk/A)=   где P(A)=

Пример. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

1.  Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

2.  Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?

Решение. Пусть событие А = {выбрать дефектный болт}.

Выдвигаем три гипотезы:

H1 ={болт изготовлен первой машиной}, P(H1) =0,25, P(A/ H1) =0,05;

H2={болт изготовлен второй машиной}, P(H2)=0,35, P(A/ H2)=0,04;

H3={болт изготовлен третьей машиной}, P(H3)=0,4, P(A/ H3) =0,02.

1) Р(А) = 0,25 • 0,05 + 0,35• 0,04 + 0,4•  0,02 = 0,0345

2) , ,  .

Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А с одной и той же вероятностью Р(А)=р или произойти противоположное событие с вероятностью q=1-р. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно m раз, находится по формуле Бернулли:

Число m0 называется наивероятнейшим числом наступления события А в схеме Бернулли, если Pn(m0)>Pn(m) для всех m=0, 1, 2, …, n. Если вероятности p, q отличны от нуля, то число m0 определяется из неравенства: np-q≤ ≤np+p.

Формула Пуассона

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность р достаточно мала, причем их произведение а=np не мало и не велико (обычно достаточно условий p<0,1; npq<10), то вероятность Pn(m) можно приближенно найти по формуле Пуассона:

Pn(m)≈.

Пример. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить  вероятность 9 сбоев.

По условию n=1000, m=9, p=0,007. Так как n - достаточно велико, p - мало (npq<7), то а=1000*0,007=7. Р1000(9)==0,1014.

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Закон распределения случайной величины – это соответствие, установленное между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Если значения, которые может принимать данная случайная величина х, образует дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел то и сама случайная величина х называется дискретной.

Если же значения, которые может принимать данная случайная величина х,  заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси Ох, то случайная величина называется непрерывной.

Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:

				…
				…

При этом , где суммирование распространяется на все (конечное или бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины .

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех её возможных значений хi на их соответствующие вероятности:

.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания а:

.

Практическая работа №  17

Повторные и независимые испытания

Задание 1. В студенческой группе 12 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать для вручения призов двух студентов одного пола?

Задание 2. Если подбросить одновременно 3 игральные кости, то сколько имеется различных возможных комбинаций выброшенных очков?

Задание 3. В цветочном киоске 7 видов цветов. Сколькими способами можно составить букет, содержащий 3 цветка?

Задание 4. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий или красный; белый, черный или синий.

Задание 5. Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Задание 6. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Практическая работа №  18

Простейший поток случайных событий и распределения Пуассона

Задание 1. Вероятность выхода из строя одного элемента устройства, в течении х часов работы, равна 0,002. Какова вероятность того, что за время х из 1500 независимо работающих элементов выйдет из строя 4 элемента?

Задание 2. Завод-изготовитель отправил на базу 12000 доброкачественных изделий. число изделий поврежденных при транспортировке, составляет в среднем 0,05%. Найти вероятность того, что на базу поступит не более 3 поврежденных изделий.

Задание 3. Какова вероятность того, что среди 730 датчиков, 4 бракованные?

Задание 4. Монета подбрасывается 2020 раз. Какова вероятность того, что выпадет герб 1000 раз?

Практическая работа № 19

Дискретная и непрерывная случайные величины. Способ задания

дискретной величины. Числовые характеристики дискретной

случайной величины

Задание 1. Выпущено 500 лотерейных билетов, причем 40 билетов принесут их владельцам выигрыш по 10000руб, 20 билетов - по 50 000 руб, 10 билетов - по 100 000 руб, 5 билетов - по 200 000 руб, 1 билет - 500 000, остальные без выигрыша. Найти закон распределения выигрыша для владельца одного билета.

Задание 2. Стрелок, имея 5 патронов, стреляет до первого попадания в цель. Вероятность попадания 0,7. Построить закон распределения числа использованных патронов.

Задание 3. В урне 4 белых и 3 черных шара. На удачу извлекли 3 шара. Найти ряд распределения дискретной случайной величины числа извлеченных белых шаров.

Задание 4.  Три стрелка сделали по 1 выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Построить ряд распределения дискретной случайной величины числа попаданий в цель.