Эклектические экскурсы в инфинитезимальную математику (стр. 12 )

    (1),

где символ ℘ пробегает всю совокупность процедур (как конечных, так и трансфинитных, а также счетно-бесконечных, если таковые существуют) типа философской суммы (О) и факториала (!), порожденных всеми возможными бинарными операциями.

Отсюда, учитывая изложенное выше, естественно положить

    (2).

Замечание. Для натуральных чисел процедуры «философская сумма» и «факториал» выражаются, как известно, следующими формулами:

Однако для эти процедуры в обычном смысле не определены, поскольку, несмотря на вполне упорядоченность множеств действительных и гипердействительных чисел, на этих множествах не определено понятие элемента, непосредственно следующего за данным. В этой ситуации естественно определить аналогичные процедуры для действительного числа «х» таким образом: , где - стандартное обозначение радиуса бесконечно-малой окрестности действительного числа. Для гипердействительных чисел, не вдаваясь пока в подробности, просто произведем замены .

Тогда, в соответствии с формулой (1) данной работы и формулой (2а) из статьи [1], получим:

  (3)

Таким образом, левый и правый пределы последовательности алефов совпадают. Мощность множества, соответствующего такому общему пределу, равна мощности множества натуральных чисел, т. е. . Далее, поскольку 4рn в данном случае означает самотождественное преобразование односторонней поверхности, а тем самым и физического пространства в целом, оказывается, что по физическому смыслу найденный общий предел равен 1 в мультипликативной композиции и 0 – в аддитивной.

Таким образом, редукция трансфинитности обеспечивается иерархической процедурой Ц-1, компонуемой из конечного множества (а именно, двух) порождающих подпроцедур (первого уровня), счетного множества порождаемых подпроцедур (второго уровня) и трансфинитного множества объектов процедур (третьего уровня). Поэтому на языке первого уровня процедура редукции является конечной, так что ее введение правомочно.

Следует особо отметить, что о структуре процедуры Ц «множество всех подмножеств» до сих пор ничего не было известно. Найденная нами иерархическая структура обратной процедуры Ц-1 указывает, что и прямая процедура Ц также иерархична.

В заключение предлагаем читателю сопоставить выражение (3) из данной работы со следующими выражениями из наших предшествующих исследований [2] и [3], которые получены на основании совершенно иных соображений:

(3 из данной работы)

limR= lim = lim = Ш  (1 из [2] )

(из [3])

Поскольку, как мы уже указывали выше, 4рn в данном контексте есть самотождественное преобразование (автоморфизм), очевидно, что все эти выражения подтверждают истинность друг друга и выражают различные, взаимно дополнительные, аспекты эволюции трансфинитных множеств, причем не в бесплотной абстракции, а в реальном физическом мире.

Литература

О конечной нормировке трансфинитности // К основам физического взаимодействия.- Научные труды действительных членов Международной академии биоэнерготехнологий.- Вып. 2.- Т.2.- Днепропетровск,2007.- С. 158-162.

Орловский , время и редукция трансфинитности // В данном выпуске. Орловский теоретико-множественные свойства чисел 0, e, р, ±1, ±і на гипердействительных и гипермнимых числових осях // В данном выпуске.

Summary

Back along the Aleph Scale

The Cantor’s diagonal procedure is demonstrated to be only a proof of existence of a real Aleph-up procedure, but this procedure Ц itself is a procedure determining a set of all subsets of a given set. The hierarchical (three-levels) Ц-1 procedure is constructed.

МНОЖЕСТВА ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ МОЩНОСТИ

Введено понятие множества отрицательной мощности как незаполенной (экологической) ниши в заданной системе. Обозначим мощность некоего множества Х как С(Х). Тогда соответствующее множество отрицательной мощности, обладающее мощностью , будем обозначать как , и . Показано, что в бесконечной системе с мультипликативной композицией алгоритм заполнения ниши является трансфинитным и для объяснения своего существования требует введения понятий мультипликативной цепной дроби и критериев ее периодичности. Выдвинуто предположение, что для многих систем мультипликативную композицию можно заменить аддитивной, если воспользоваться понятием философской суммы натурального числа N: .

Мощность пустого множества, как известно, равна нулю, поскольку само пустое множество не является своим собственным элементом.

Множество отрицательных чисел равномощно множеству их абсолютных величин. Так, мощность долга в 1000 денежных единиц (именно размер долга исторически впервые обозначали отрицательными числами) равна 1000, а не (-1000).

Определяя понятие отрицательной мощности, полезно поначалу представить себе не точечное множество, но связный граф, т. е. систему вида , где А – множество вершин (apex), Е – множество ребер (edge), I – инцидентор (в том числе стохастический). К точечным же множествам (где, согласно указаниям Г. Кантора, – не множество, а всего лишь совокупность элементов множества) мы перейдем, определив .

Рассмотрим сначала конечные множества отрицательной мощности.

Далее предполагается, что в целостной системе S, содержащей актуальный объект О, выполняются соотношения

  (1),

где Е(S) – элементный состав системы; Q(S) – качество (QUALITY), для замкнутых систем оно же свойство (PROPERTY) системы, несводимое к сумме качеств q ее элементов е; s = е, если , т. е. ; # - операция или система операций, переводящая совокупность качеств элементов в качество системы, т. е. инцидентор системы. Для дальнейшего необходимо помнить, что свойства системы определяются не только свойствами ее отдельных элементов, но и системными свойствами ее парциальных подсистем, каждая из которых включает более одного элемента. Поэтому операция # в некотором смысле сходна с операцией «факториал» (!). Исследование различий между этими операциями выходит за рамки данной статьи, однако целесообразно предположить, что #, равно как и!, подразумевает мультипликативную композицию. Оператор, аналогичный прямому произведению, но порожденный операцией #, будем обозначать .

Определение множеств с отрицательной мощностью

Определение 1. Экологическая ниша, или просто ниша (niche) NO объекта О, принадлежащего системе S – совокупность условий (элементного состава Е(S) = {еi} и качеств Q(S) = {qi} целостной системы S и ее элементов s1, s2, s3,…,sn), в совокупности внешне определяющих объект О. 

Определение 2 (внутреннее). Множество отрицательной мощности

(-Set) – связная система (популяция) Р, которая одновременно как целое и как множество своих элементов должна существовать в данной нише (имеет нишу ненулевого объема, т. е. непустую, в смысле не являющуюся пустым множеством), но не существует (имеет незаполненную нишу) в силу предшествующих условий (уничтожена нацело какой-то катастрофой, еще не возникла в эволюционном процессе).

Определение 2а (внешнее). Множество отрицательной мощности  (-Set) – непустая, но не заполненная ниша.

Определение 3 (формальное). Обозначим мощность некоего множества Х как С(Х). Тогда соответствующее множество отрицательной мощности, обладающее мощностью , будем обозначать как , и

  (2)

Замечание. Рассмотрим соотношения (2) по аналогии с соотношением зарядов электрона и дырки в полупроводнике или виртуальных электрона и позитрона в вакууме Дирака . Если извлечь реальный (т. е. не виртуальный) электрон из вакуума или свободный электрон из металла, отрицательный заряд в данной точке просто исчезнет, точка станет электрически нейтральной. Однако если извлечь электрон из кристаллической структуры полупроводника или же виртуальный электрон из вакуума Дирака, т. е. извлечь отрицательный заряд, соответствующий спин и т. д. из нейтральной, равновесной по этим квантовым числам структуры, то «возникнет» (вернее, проявится), соответственно, положительно заряженная дырка или виртуальный позитрон.  Аналогично и множество отрицательной мощности возникает как ниша в структуре, которая без этой ниши является равновесной.