Эклектические экскурсы в инфинитезимальную математику (стр. 9 )

Литература

О конечной нормировке трансфинитности // К основам физического взаимодействия.- Научные труды действительных членов Международной академии биоэнерготехнологий.- Т.2.- Днепропетровск, 2007.- С. 158-162. Орловский фракталы и континуум-гипотеза // Там же.- С. 156-157. , , и др. Комплементарная медицина и позитивное естествознание.- Киев:  Наукова думка, 1997.- 567 с. / Электронная публикация: код в "INTERNET" http:www//.onconet. /potebnya. htm. Монографию целиком или любой из ее разделов можно получить по электронной почте, обратившись по адресу автора (см. в начале статьи) (объем полного файла в редакторе Word в графическом формате – около 47 МБ).

Summary

Time, Eternity and Tranfinite Reduction

Interrelations between the concepts listed in the title of the article is discussed in respect to construction of hyper-real numbers sets of different orders (the Robinson’s and higher). A non-trivial relation of the General continuum-hypothesis and basic classic analysis is demonstrated. An algorithm of arithmetization of  any set of material systems is proposed.

1) Третье правило округления предписывает: если округляемый разряд составляет точно 5, то следующий влево разряд увеличевается на единицу, когда он представлен нечетным числом, и остается неизменным, когда он представлен четным числом.

СЕЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ И КОНДЕНСАЦИЯ ЧИСЕЛ

Принцип Рейхенбаха и его частный случай – соотношение неопределенностей Гейзенберга – получены как экспликация обобщенной континуум-гипотезы, в терминологии гипердействительного анализа. Показано, что конечные значения величин сечения и скорости реакции в квантовой кинетике могут быть представлены соответственно как экспликации дедекиндова сечения на пространствах скоростей и сечений той же реакции.

Определение 1. Пусть А – множество (в частности, числовое), вполне упорядоченное по Г. Кантору, т. е. упорядоченное и имеющее точную нижнюю грань; аА – произвольный элемент множества А; еА, е ≠ а -  сколь угодно малое число из А. Сечением назовем процедуру выбора (целенаправленного или случайного) одного из его элементов, такую, что inf A+е < a < sup A−е, если sup A существует, и inf A+е < a, если sup A не существует.

Данное определение подразумевает, что сечение может быть произведено на множестве не менее чем рациональных чисел. Данное определение подразумевает также, что до выполнения процедуры сечения выделенных элементов в А не существует, так что любое сечение является либо собственно-дедекиндовым, либо его аналогом на трансфинитных шкалах.

Как показано нами ранее [1], с помощью дедекиндова сечения отрезка [0, 1] в точке Ѕ легко доказываются 1-е и 2-е правила округления рациональных чисел. При этом демонстрируется, что округление может быть естественным образом интерпретировано как конденсация чисел из полуотрезков [0, Ѕ) и (Ѕ, 1] к точкам 0 и 1 соответственно. В более общем аспекте, в том числе для трансфинитных ординалов, явление конденсации чисел определено (хотя и не названо этим словом) в работах Г. Кантора как сходимость последовательности всех ординалов данного порядкового типа к порядковому типу.

В данном сообщении мы продемонстрируем, что вопросы теории трансфинитных множеств – на первый взгляд, совершенно абстрактной – имеют самое непосредственное отношение к квантовой физике и, в частности, квантовой кинетике.

1. Гипердействительный анализ и континуум-гипотеза

В дальнейшем, для упрощения изложения, мы будем обозначать символом אּi как мощность множества, так и само множество, обладающее данной мощностью.

Традиционная запись обобщенной континуум-гипотезы:

  =   (1).

В случае обобщения на ординалы, (1) приобретает вид

  (1а).

В дальнейшем мы будем, в соответствии с «наивной» концепцией Кантора, рассматривать это обобщение как очевидное и пользоваться символами (1).

Собственно, число 2 здесь взято всего лишь как минимальное натуральное число, превосходящее 1. Исходя из доказанного в статье [1] правила округления, в действительном анализе можно записать также

= ; е ≠ 0;   (2).

Замечание. Каков онтологический статус результата округления в формуле (2)? Каков вообще онтологический статус системы {Ob, Op, Res} (объект, операция, результат) и ее отдельных элементов? Вообще говоря, мы предполагаем, что и система как целое, и ее элементы существуют актуально в некотором архетипе. В частности, формула (2) предполагает, что результат округления является актуальным, т. е. что можно записать и далее строить выкладки с использованием этого соотнощения.

Действительный анализ (анализ над R) переходит в гипердействительный (анализ над R*), когда е* настолько мало, что

= ; е* ≠ 0;   (3).

Замечание. В обозначениях гипердействительного анализа, очевидно, .

При этом, однако, если принимается континуум гипотеза, то

P(R(n+1)(*)) = = ; еn(*)≠ 0;   (4),

где P – мощность множества.

Уравнения (3) и (4), на первый взгляд противоречащие друг другу, составляют систему, решением которой является инвариант (нормировка) вида

= Const  (5),

который представляет собой аналог соотношения неопределенностей Гейзенберга. Нормировку 5 будем в дальнейшем именовать «континуум-инвариантом» (КИ).

Однако очевидно, что формула (5) в традиционной интерпретации абсурдна. В самом деле, если - число (или множество {}, состоящее из единственного элемента – числа ), то первый множитель бесследно «поглощается» вторым. Поэтому приходится предположить, что есть не единственный числовой элемент и не одноэлементное числовое множество, но некий центр конденсации всех элементов числового множества {}, внутри которого все элементы между собой неразличимы и, следовательно, не подчиняются аксиоме выбора. Это, в свою очередь, означает, что само число и, возможно, является несобственным элементом .  Далее, Const, очевидно, также означает не число, но множество.

2. Числовая ось как отображение шкал ординалов и кардиналов

Интересно, что сходным образом, как известно, происходит конденсация  ординалов на порядковых (ординальных) классах. Настоящее замечание находится в хорошем соответствии с тем очевидным фактом, что шкала подобна шкале порядковых классов и, соответственно, шкале кардиналов. Отметим далее, что, согласно Кантору, множество ординалов, сходящихся к данному порядковому классу, есть множество всех способов упорядочения множества соответствующей мощности. Отсюда ясно, что, в рамках данной теории, каждое число можно рассматривать как символ некоторого способа упорядочения континуума.

В этой интерпретации, очевидно, простые числа символизируют упорядочение введением того или иного, но единственного отношения порядка (одномерное упорядочение); составные – упорядочение введением композиции отношений порядка (d-мерное упорядочение, где d – число делителей составного числа, т. е. снова натуральное число). Далее, составные числа сами по себе делятся естественным образом на два класса: 1) составные числа, число делителей которых есть простое число (например, число 4, имеющее делители 1, 2 и 4, всего 3 делителя); 2) составные числа, число делителей которых есть составное число (например, четное число 12 с делителями 1, 2, 3, 4, 6, 12, всего 6 делителей; нечетное число 621 с делителями 1, 3, 9, 23, 27, 69, 207, 621, всего 8 делителей). Первый класс, по-видимому, состоит из единственного составного числа 4(Примечание 1) и всех простых чисел. Второй класс разделяется на многочисленные подклассы по различным критериям – например, по тому, представляет ли число делителей числа целую степень или нет (число 6 делителей числа 12 не является целой степенью какого-либо натурального числа; напротив, число 8 делителей числа 621 равно 23). Анализ этих подклассов в высшей степени интересен, однако выходит за рамки данного исследования. Важно, что второй класс чисел, очевидно, символизирует многоступенчатые, иерархические упорядочения континуума (например, каждое из вышеприведенных чисел 12 и 621 символизирует 2-ступенчатое упорядочение). Это означает существование для (не «на», а именно «для»!) действительной числовой оси (а также для каждой из гипердействительных осей) иерархии отношений порядка {}={}, такой, что лишь определено на «исходной», «первообразной», «наивной» числовой оси, тогда как каждое ; (k = 1, 2, 3, …, n) – на её (k − 1)-м автоморфном образе. В этой системе каждое отношение порядка существует как бы «до осуществления» (k + 1)-го автоморфизма (что означает введение понятия времени, в соответствии с принятым в статье [1]), поэтому с k-й ступени иерархии (k + 1)-я «не видна». Во вневременном же аспекте имеет место конденсация {} → .