Эклектические экскурсы в инфинитезимальную математику (стр. 8 )

2) В нашем случае представляется целесообразным воспользоваться общеизвестным соотношением D ~ (lnN/lnR) и тем вытекающим из него фактом, что при N→∞ имеет место связь: d(А’) = n lim D(А’) = n+1. В этом случае, понятно, следует применить ту же аналогию между финитным индексом n и трансфинитным индексом аn, что и в первом варианте. Однако здесь такая аналогия уже не подразумевает использования ОКГ.

Таким образом, Теорема 2 представляет собой доказательство ОКГ для частного класса объектов – стохастических фракталов. Это доказательство справедливо ровно в меру формализуемости аналогии между натуральными индексами n = 1, 2, 3,… и кардинальными индексами а1, а2, а3,….

SUMMARY

Stochastic fractals and the Continuum-hypothesis

The Generalized continuum-hypothesis is proven for a special class of mathematical objects – the stochastic fractals. The proof is as correct as the analogy between the natural indices n = 1, 2, 3,… and cardinal indices а1, а2, а3,….

ВЕЧНОСТЬ, ВРЕМЯ И РЕДУКЦИЯ ТРАНСФИНИТНОСТИ

Связь понятий, вынесенных в название работы, обсуждается с точки зрения построения множеств гипердействительных чисел разных порядков (по Робинсону и далее). Продемонстрирована нетривиальная связь между обобщенной континуум-гипотезой и основаниями классического анализа. Предложен алгоритм арифметизации множества материальных систем.

Предлагаемая концепция природы времени и его взаимосвязи с Вечностью, насколько способен судить автор, объясняет ряд феноменов, порождающих противоречия во всех доныне существовавших концепциях.

Вечность абсолютна. Топология собственного времени конечной сущности определяется топологией самой сущности, т. е. заложенной в ней системой подклассов (а не вообще подмножеств) Абсолюта, т. е. системой критериев выделения таких подклассов. В пределе, множество критериев становится столь разнообразным, что любое подмножество может рассматриваться как подкласс. Это и означает переход к Абсолюту, т. е. к Вечности.

Таким образом, множество критериев, на первый взгляд, равномощно множеству определяемых ими подклассов объектов, отличных от критериев. Однако в таком варианте класс критериев самореферентен, т. к. может быть, в свою очередь, разбит на подклассы в соответствии с критериями второго порядка, и т. д. до бесконечности... или до нормирующей свертки. Выход в метасистему, или второй аспект (второй член) антиномии состоит в том, что в пределе дифференциации каждый объект есть сам-в-себе критерий, так что объектов, отличных от критериев, не существует. Эти два аспекта антиномии – суть аспекты феноменальный (первый из рассмотренных) и ноуменальный (второй). Во втором аспекте имя (ноумен) объекта отождествляется с его бытием (экзистенцией, существованием). В этом, видимо, состоит решение парадоксов Кантора и Рассела.

Обобщая сказанное, можно утверждать, что время есть множество критериев дифференциации (различения и, следовательно, узнавания) объектов (в том числе множеств, многообразий, классов, процессов, алгоритмов). Собственное (локальное) время материальной или информационной системы – пересечение множеств критериев, определенных в ее элементах (подсистемах).

Понятно, что  время, определенное таким образом, может иметь разнообразную топологию, определяемую свойствами системы-«хозяина».

Ускорение и замедление времени означает, в этих определениях, повышение или снижение способности системы к дифференциации объектов. Время Абсолюта – Вечность – в этих терминах, как и следовало ожидать, антиномично, т. е. бесконечно быстро и, вместе с тем, бесконечно медленно.

Множества критериев, в соответствии с результатами статей [1, 2], могут быть представлены числовыми множествамиШ, A, N, Q, R, R*= R4р(*), R**= = R4р(*^2), R***= R4р(*^3),…, R4рn(*), где А – конечное множество; (*) – преобразование множества действительных чисел во множество гипердействительных по Робинсону, (*^2) – множества гипердействительных чисел Робинсона во множество гипердействительных чисел второго порядка, и т. д.

В связи с последним пассажем, интересно рассмотреть вражения, в которых, в силу односторонности границы ячейки суперобъединения [3], далее полагаем:

Ш, Ш*= Ш4р(*),Ш4р(*^2),Ш4р(*^3), …, Ш4рn(*) ; А, А*= А4р(*), А4р(*^2), А4р(*^3), …, А4рn(*) ; N, N*= N4р(*), N4р(*^2), N4р(*^3), …, N4рn(*) ; Q, Q*= Q4р(*),Q4р(*^2), Q4р(*^3), ..., Q4рn(*), где N(N*Q*); Q(Q*R*R**…R4рn(*)). Если такие выражения правомочны, то (*)n = n(*), т. е. преобразование (*) представляет собой некоторое обобщение операций логарифмирования и/или дифференцирования. В последнем случае, как видно из предыдущего, d(*)=(*). Таким образом, преобразование (*) есть обобщение функции lognx и/или ex. Восхождение к Абсолюту (Вечности) требует, к тому же, таких свойств преобразования (*), что

limR= lim = lim = Ш  (1)

Числа r*, q*, n* из множеств R*, Q*, N*, принадлежащие, соответственно, отрезкам [r+е*, r−е*]; [q+е*, q−е*]; [n+е*, n−е*] на оси R*, составляют е*-окрестность, соответственно, чисел r, q, n, и так далее. Очевидно, aA есть частный случай nN.

Поскольку n в выражении 4рn пробегает весь натуральный ряд, и в силу формулы (1), правомочны циклические подстановки

 

 

Таким образом, сформулированная здесь концепция предсказывает, что полные арифметизации (оцифровки) любого пространства состояний должны содержать структуры, повторяющиеся с пространственным периодом, равным 4р, т. е. удвоенной длине волны собственных колебаний. Это означает, что собственная частота колебаний любой материальной системы составляет

fown = Cpart/2лown  (2),

где Cpart – описанный в монографии [3] собственный парциальный аналог скорости света в вакууме, определенный в пространстве состояний системы. Отсюда очевидно, что «загадочную» величину Cpart легко определить как Cpart=2лown fown, измерив экспериментально обе величины, стоящие в правой части этой элементарной формулы.

Наконец, вполне очевиден ход, позволяющий перевести численные характеристики из формулы (2) в натуральные числа и тем самым применить к анализу любых материальных систем законы классической теории чисел. Для этого необходимо лишь измерять скорость света и ее парциальные аналоги в единицах q(l)/q(t), где q(l) – квант длины, а q(t) – квант времени наблюдаемого физического мира.

Однако при вычислении q(l)/q(t) в этом случае возникают не натуральные, а рациональные числа. Конечно, хорошо известно, что множества N и Q равномощны, т. е. между их элементами принципиально возможно установить взаимно-однозначное соответствие. Но как это сделать практически? Наиболее естественным представляется применить здесь простейшее округление до целых значений. Но, конечно, его применение следует предварительно обосновать. Однако же…

Как ни странно, в результате весьма обширного поиска по «бумажной» литературе и математическим ресурсам Интернета автору не удалось обнаружить ни единой попытки аналитически обосновать (а заодно и проверить!) обычные правила округления, известные каждому из программы младших классов. Более того, третье правило округления1) явным образом свидетельствует о чисто эмпирическом характере всех трех правил. Между тем, сделать это совсем не сложно.

Рассмотрим отрезок (сегмент, закрытый интервал) [0,1]. Высечем теперь из этого отрезка среднюю точку, получив множество вида

[0,1] = [0, Ѕ) [1/2] (1/2,1]  (3)

В силу плотности множества рациональных чисел, полусегмент [0, Ѕ) не имеет точной верхней грани (Sup), а полусегмент (1/2,1] – точной нижней грани (Inf). Поэтому единственным общим пределом всех сходящихся последовательностей рациональных чисел на полусегменте [0, Ѕ) является точка [0], на полусегменте (1/2,1] – точка [1]. Таким образом, первые два правила округления доказаны.

Доказано также и то, что третье правило округления в обычной формулировке, хотя и удовлетворяет большинству практических потребностей, является аналитически противоестественным. Аналитически правильная его формулировка может быть следующей: если разряд, который предполагалось округлить, составляет точно 5, то округление выполняется лишь до разряда, предшествующего ему справа.

Таким образом, настоящая работа открывает возможность интегральной арифметизации произвольных множеств числовых систем и представления их в виде пространственных матриц численных значений функций состояния.