Эклектические экскурсы в инфинитезимальную математику (стр. 7 )

ℵℵ! = 4  (1),

где n – натуральное число циклов на данном уровне гиперцикла, и

ℵ! = П ∫ М(μ) dμ  (2),

где, в свою очередь, М – мощность числового множества на данном уровне ФЧС (т. е. мощность множества натуральных, рациональных, действительных и т. д. чисел); μ  – трансфинитное  обобщение меры Лебега.

  Уже на этом этапе такая нормировка по смыслу аналогична парадоксу Гиббса. В данном случае скачкообразное возрастание энтропии происходит за счет интерференции информации о мощности множеств, содержащейся в кардиналах.

  Данная модель ДТМ отличается тем, что мощность множества  кардиналов в ней строится в соответствии с усиленной процедурой Кантора "множество всех подмножеств" и, соответственно, индексы при ℵ в ней могут принимать не только натуральные, но и рациональные, действительные и гипердействительные разных рангов значения. Следует осознать однако, что такое построение модели означает не простое отрицание, но диалектическое снятие ОКГ. ОКГ оказывается справедливой в частном случае данной модели, и тем самым эта модель и доныне существовавшая ДТМ находятся в отношениях соответствия по Нильсу Бору. При такой трактовке ОКГ волей-неволей приходится обратиться к разработке [2], согласно которой гипердействительные числа по Робинсону введены не вполне корректно, и вместо них вводится понятие неопределенных чисел, обладающих свойством «слипания», т. е. бесконечного сближения на числовой оси. В этом случае ФЧС приобретает свойства массового (в некоторых работах – массивного) фрактала.

  Однако внимательное рассмотрение парадоксов Бурали-Форти и Кантора указывает на необходимость расширить вышеизложенные рассуждения на случаи аддитивной и смешанной композиций.

Парадокс Бурали-Форти обычно излагается следующим образом.

«Этот парадокс возникает при рассмотрении множества всех ординальных (или порядковых) чисел. Любое множество таких чисел, расположенных в возрастающем порядке, представляет собой вполне упорядоченное множество и, следовательно, само характеризуется некоторым ординальным числом. Рассмотрим теперь множество всех ординальных чисел, расположенных в возрастающем порядке, то есть взятое в качестве вполне упорядоченного. Согласно определению, это множество как множество всех ординальных чисел должно включать в себя все возможные порядковые числа, а, с другой стороны, само существование этого множества всех порядковых чисел как вполне упорядоченного ведет к появлению нового порядкового числа, характеризующего его тип упорядочения, причем такого, которое не входит в это множество. Но тогда оно не является множеством всех порядковых чисел! Иными словами, если взять множество всех порядковых чисел, как вполне упорядоченное, обозначить его порядковое (ординальное) число через Р и включить теперь само это ординальное число Р в множество всех порядковых чисел, то обнаруживается, что порядковое число, характеризующее это множество всех порядковых чисел, должно быть большим Р, а именно (Р + 1). То есть, оно оказывается новым и отличным от всех ранее собранных в одном множестве порядковых чисел. По условию это число должно входить во множество всех порядковых числе, и в это же время оно там не оказывается. Если же мы его включим во множество всех порядковых чисел, то вслед за этим возникает новый порядковый тип для расширенного таким образом множества порядковых чисел. Таким образом, конструкция множества всех порядковых чисел оказывается внутренне противоречивой и логически нереализуемой».

Однако такая его трактовка не вполне правомочна. В самом деле, здесь  речь идет о множестве {О} всех ординалов, т. е. суверенных объектов (как и в случае множества М всех множеств, см. ниже), а не о множестве производных, порожденных от {О} (в приведенном ниже случае – oт М) объектов. Поэтому замыкание этого множества, или его точная верхняя грань, является его собственным элементом и множество {О} замкнуто.

Парадокс Кантора состоит в следующем. «Рассмотрим множество всех множеств, обозначив его через М. Мощность такого множества должна быть больше мощности любого множества, так как по условию это множество образовано всеми возможными множествами, какие только могут быть. Но если есть такое универсальное множество (множество всех множеств), то существует и множество всех подмножеств данного множества. А оно согласно теореме Кантора относительно мощности исходного множества всех подмножеств любого данного множества, должно обладать мощностью большей мощности исходного множества. А именно, теорема Кантора гласит, что мощность С множеств всех подмножеств любого множества мощности n больше n и равна 2 в степени n: С>n и С = 2 в степени n».

Эту трактовку необходимо скорректировать следующим образом. Во множестве всех подмножеств М само М есть несобственный элемент, тогда как во множестве всех множеств – собственный. При этом М как элемент самого себя представляет собой, по смыслу, замыкание множества всех своих подмножеств (последнее, тем самым, является открытым). То, что мощность М меньше мощности множества всех его подмножеств, означает редукцию (вырождение) мощности при предельном переходе к замыканию.

Таким образом, замкнутый субуниверсум ординалов и открытый субуниверсум кардиналов определяют топологию целостного Универсума.

Из Канторовой трактовки множеств кардинальных и ординальных чисел видно, что первое из них целесообразно рассматривать как множество с мультипликативной композицией, а второе – с аддитивной. Однако структура «обычных» числовых множеств – структурных уровней ФЧС – имеет в качестве своих характеристик как кардиналы, так и ординалы, и в этом смысле композиция Универсума является смешанной. 

Для случая аддитивной композиции воспользуемся известным еще в средние века понятием философской суммы (О) числа – процедуры, представляющей собою аддитивный аналог факториала. Например, О(5) = 1+2+3+4+5 = 15). Процедуре (О), равно как и процедуре (!), можно придать смысл процедуры Кантора “множество всех подмножеств” Для этого нужно лишь реализовать процедуры (О) и (!) не только на последовательных цепочках чисел, но на всех их упорядоченных комбинациях. Отсюда видно, что процедура Кантора может быть реализована как на аддитивной, так и на мультипликативной композиции. Вообще, можно построить процедуру Кантора на основе любой n-арной операции (О или!). Отсюда полная форма уравнения (1) :

ℵ℘(ℵ) = 4πn  (1а),

где символ ℘ пробегает всю совокупность процедур (как конечных, так и трансфинитных, а также счетно-бесконечных, если таковые существуют) типа  (О) и (!), порожденных всеми возможными бинарными операциями.

Заметим также следующее. Множество, на котором введена процедура (О) и/или (!), можно разбить на смежные классы относительно этих процедур различными способами. Например, смежными классами являются классы чисел, результат процедуры (О) или (!) для которых равен четному или нечетному числу; простому или составному числу, и т. д. После такого разбиения, к числовым множествам с процедурами (О) и/или (!) становится приложимой теория мультиалгебраических систем [3].

Литература

, , и др. Комплементарная медицина и позитивное естествознание.- Киев:  Наукова думка, 1997.- 567 с. Монографию целиком или любой из ее разделов можно получить по электронной почте, обратившись по адресу автора (см. в начале статьи) (объем полного файла в редакторе Word в графическом формате – около 47 МБ). Новая «Каббала» (автор не указан).- http://biozot. boom. ru/mathem/mathem2.htm , Яковлев свойства мультиалгебраических систем // Доп. НАН України.- 2001.- №10.- С. 21-25; , Об изоморфизме мультиалгебраических систем // Доп. НАН України.- 2002.- №9.- С. 67-70

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ И КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА

Пусть X – некоторое пространство; F – множество всех возможных стохастических фракталов; F(А); F(А’): F F – подмножество стохастических фракталов, определенных на некотором классе А пространств или на отдельном пространстве-представителе A’ данного класса; P – мощность множества; М(А) или М(А’: A’A) – множество всех подмножеств, определенных на данном классе или его представителе соответственно; М – множество всех множеств в универсальном (Канторовом) смысле; d(А’) – метрическая размерность пространства A’, для непрерывного пространства отождествляемая в данном случае с мощностью множества его обобщенных координатных осей; D – фрактальная размерность множества.

Теорема 1. d(А’) ≤ а0 P [F(А’)] = а1.

Идея доказательства. Каждый шаг построения стохастического фрактала определяется некоторым распределением вероятностей. По определению, вероятность может непрерывно изменяться в пределах отрезка [0, 1]. Однако известно, что P [0, 1] = а1, а также что а0 Ч а1 = а1.

Замечание. Теорема 1, равно как и следующая теорема 2, относится именно к стохастическим фракталам, а не ко всем вообще стохастическим объектам. Легко определить сколько угодно стохастических объектов типа «один или несколько на координатную ось с определенной вероятностью», при отсутствии определяющего для фракталов алгоритма роста, мощность множества которых очевидным образом равна метрической размерности пространства.

Теорема 1, в случае трансфинитномерных пространств, может быть обобщена до следующей

Теоремы 2. d(А’) = аn P [F(А’)] = аn+1.

Замечание. Очевидно, что теорема 2 представляет собой частный случай обобщенной континуум-гипотезы, т. е. её приложение к частному классу объектов – стохастическим фракталам.

Идея доказательства.  1) На первый взгляд, можно было бы, воспользовавшись натуральными индексами n=1, 2, 3,… в кардиналах вида аn, придать кардинальному числу аn смысл индекса, по аналогии с натуральным индексом счетного случая, и далее, по аналогии с теоремой 1, построить  произведение вида , которое представляет собой процедуру Кантора «множество всех подмножеств» над множеством {d(А’)}. Однако такой путь очевидным образом использует обобщенную континуум-гипотезу (ОКГ), а потому является неудовлетворительным для наших целей.