Эклектические экскурсы в инфинитезимальную математику (стр. 5 )

Актуальная бесконечность, хотя и может быть применена в технических выкладках, по сути является не техническим, а именно онтологическим понятием. Как ипостась Абсолюта, она подразумевает жесткую фиксированность имени каждого объекта (в частности, числа). Установление попарных соответствий между элементами двух актуально-бесконечных множеств означают не переименование, а только сопоставление. Именно поэтому для доказательства диагональной теоремы Кантора и достаточно одного контрапримера, свидетельствующего о невозможности попарного сопоставления в диагональной процедуре. С точки зрения диалектической логики, актуально-бесконечное множество есть отрицание отрицания (диалектическое снятие) конечного множества с фиксированными объемом и структурой.

В заключение рассмотрим механизм разрешения антиномий в семантическом пространстве и его материальном референте – пространстве состояний материального объекта.

Всякое установление попарного соответствия (перечисление) есть трехместный предикат

  (1),

где А – перечисляемое  множество; В – перечисляющее множество; {ai, bi} – множество пар элементов. Пары, вообще говоря, не упорядочены, т. е. .

Однако, как известно еще из трудов Г. Кантора, всякое множество S есть двухместный предикат , где {s} – совокупность (не множество!) элементов множества S; I – конститутивное свойство элементов, объединяющее их во множество, или, иначе, инцидентор множества.  Инциденторы множеств А и В приобретают в такой трактовке смысл операторов и . Тогда трехместный предикат (1) приобретает смысл оператора поля (поля семантического, но имеющего референтами соотношения материальных сущностей!)

  (2),

так что операторы и оказываются операторами рождения-уничтожения поля .

В полном соответствии с этим смыслом и учитывая изложенное в разделе 1, выражение (2) можно переписать так:

  (2а).

Очевидно, что это выражение является типичной антиномией. Тогда контрапример, доказывающий диагональную теорему Кантора, приобретает смысл возмущения оператора , а потому самим фактом своего существования нарушает логическую изоляцию пары и тем самым разрешает антиномию (2а).

Замечание. Если наблюдатель пребывает внутри процесса становления потенциальной бесконечности и если скорость этого процесса больше максимально возможной скорости расширения восприятия наблюдателя, то такая потенциальная бесконечность для данного наблюдателя тождественна актуальной. Под внутренним наблюдателем мы понимаем такого наблюдателя, для которого не существует актуальный аналог становящейся потенциальной бесконечности, т. е. который не может отличить потенциальную бесконечность от актуальной, перенеся свое поле зрения на те стадии, которые процесс становления еще не прошел. Понятно, что если актуальной бесконечности не существует вовсе, то для всякой потенциальной бесконечности найдется по крайней мере один такой наблюдатель, для которого она неотличима от актуальной. Если же скорость процесса становления  заведомо выше любой возможной скорости расширения поля зрения наблюдателя (аналог ситуации со скоростью света в ТО), то различие между А - и П - бесконечностью теряет смысл.

Принцип Рейхенбаха и вопрос о количественных мерах

топологии и причинности

В конце ХІХ – начале ХХ столетий в Германии существовала династия философов, логиков и физиков по фамилии Рейхенбах. Один из ее представителей занимался логическим анализом специальной и общей теории относительности (СТО и ОТО). Он, в частности, показал [9], что если имеются две области А и В пространства-времени, разделенные некоторой границей, то наблюдатель в А воспринимает изменения топологии в В как изменения причинности и наоборот. Это открытие было нами трактовано в монографии [5] как обобщение соотношения неопределенностей и названо (там же) «принципом Рейхенбаха». Какими же свойствами должна обладать граница между А и В?

Во-первых, в соответствии с определяющей установкой СТО, такая граница должна быть светопроницаемой, в противном случае получение какой-либо информации о физических явлениях в В для наблюдателя из А невозможно. Во-вторых, в соответствии c соотношением неопределенностей, граница должна обладать свойством инвертировать фазу световой волны, проходящей из В в А или обратно. В-третьих, противофазные волны, приходящие из В в А, не должны интерферировать со своими аналогами внутри А, и наоборот. Совершенно очевидно, что совместить эти три требования возможно только в том случае, если граница представляет собой одностороннюю поверхность, причем волна, приходящая из В, смещена по этой поверхности относительно своего аналога в А ровно на 2р радиан в направлении обхода поверхности нормальным вектором (как известно, для односторонней поверхности, в отличие от обычной двусторонней, самотождественным преобразованием является поворот нормального вектора не на 2р, а на 4р радиан). Таким образом, антиномия как топологическая структура в семантическом пространстве оказывается изоморфной односторонней поверхности.

Литература

Зенкин рай Георга Кантора: библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса // http://2com. ru/alexzen/  и http://www. ccas. ru/alexzen/index. html Волькенштейн , физика и биология // Успехи физических наук.- Т. 154, вып. 2. Букалов и квантовая физика: теоремы Геделя, Тарского и принцип неопределенности // Физика сознания и жизни, космология и астрофизика.- 2001.- №2. Орловский косвенного измерения // Актуальные проблемы медицины и биологии.- 2001.- №2.- С. 274-283. , , и др. Комплементарная медицина и позитивное естествознание /под ред. и .- Киев: Наукова думка, 1997.- 566 с. , Алиев существования нумерологии и нормировка калибровочных полей в семантическом пространстве // Актуальные проблемы медицины и биологии.- 2001.- №2.- С. 284-290. , Гуревич .- Москва: Фаир-Пресс, 1999.- 720с. Постников многочлены.- Москва: Наука, 1981. Грюнбаум проблемы пространства и времени.- Москва: Прогресс, 1969.- 492 с.

Summary

Antinomies in scientific cognition

Contradictions of the G. Cantor’s diagonal procedure, described by A. Zenkin in his jocularly-formed but essentially serious paper named “Transfinite Elysium of George Cantor”, are handled from the viewpoint of dialectical logics. The logical situations of type, being known as antinomies, are shown to appear very often in different branches of science and to be dissolved, quite simply as a rule, by the equations of  type, being isomorphic to the Haienberg’s ambiguity relation. This way of the antinomies dissolving is possible because of topological isomorphism between antinomy and one-sided surface.

СЕМАНТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ

НЕСТАНДАРТНОГО (ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО) АНАЛИЗА

Отношение к нестандартному анализу (НА) среди математиков и физиков крайне неоднозначно. Самая немногочисленная и самая профессиональная группа исследователей [1, 2], во главе с самим создателем НА – A. Robinson, – даже при разработке приложений НА не оставляет без внимания его основания. Эти исследователи не забывают о том, что введение гипердействительных чисел существенно использует логику высказываний и/или теорию моделей. Другая группа (в основном физиков) справедливо указывает на блистательные – иначе просто не скажешь – возможности НА в описании и даже объяснении (Sic!) природных явлений, принимая при этом сам НА как некую данность и не вдаваясь в глубокомысленные рассуждения о его основаниях. Наконец, третья группа (так сказать, математики-рационалисты) полагает НА ограниченно-полезным для упрощения логических выкладок, которые в обычном анализе трудно обозримы. Представители этой группы иногда говорят даже, что «за НА не стоит никакая новая топология», забывая при этом, что всякая логика есть топология на пространстве высказываний и/или предикатов, так что новая логика есть новая топология. Понятно, что в этой группе также не особенно обращают внимание на логическую строгость введения основных понятий НА: на практике работает, вот и ладно.

Возьмем, например, центральное понятие НА – понятие гипердействительного числа. Во-первых, определение гипердействительного числа как «актуального бесконечно-малого» вполне соответствует методологии Лейбница, но заведомо некорректно с точки зрения методологии Ньютона [2] и, далее, Эйлера, согласно которой бесконечно-малая есть переменная, а не постоянная (фиксированная) величина, каковой является каждое конкретное число, не исключая и гипердействительного. Кстати, в своих учебных курсах неоднократно предупреждал, как опасно об этом забывать и к каким нелепостям можно придти, если забыть. Во-вторых, пояснения (вроде того, что содержится в книге Успенского [3]) по поводу «рассматривания числовой оси под микроскопом» донельзя наивны даже для популяризации. В самом деле, классическая бесконечно-малая потому так и называется, что достигает сколь угодно малых значений, и именно поэтому множества не только действительных, но и рациональных чисел везде плотны. Поэтому утверждение, что некое действительное число может уместиться между «соседними» рациональными, а некое гипердействительное – между двумя «соседними» действительными совершенно бессмысленно. И ни в какой «супермикроскоп» эти «промежутки» между «соседними» числами не высмотришь, поскольку их просто не существует в природе, равно как и соседних рациональных  (а тем более действительных или гепердействительных) чисел. Совсем не зря некоторые авторы [4, 5] подчеркивают, что гипердействительное расширение обычной действительной числовой оси требует некоторого явления конденсации (слипания) чисел. Кстати, аналогичного явления требует и действительное расширение множества рациональных чисел, то есть классическая диагональная процедура Кантора, равно как и гипердействительные расширения второго и следующих порядков). Слабым намеком на явление конденсации чисел является дедекиндово сечение и вообще понятие точной верхней и точной нижней грани. Однако конденсация (слипание) чисел – понятие хотя и интригующее, но явно противоречащее принципу бритвы Оккама, а потому без него лучше бы обойтись.