Эклектические экскурсы в инфинитезимальную математику (стр. 6 )

Обойтись же без него можно только одним способом: положить, что при переходе к гипердействительным числам уменьшается не расстояние между соседними числами, каковое понятие бессмысленно для везде плотного числового множества, а нечто иное, не выходящее за пределы уже существующего пространства понятий.

Решение вопроса о том, какой именно параметр уменьшается при переходе, затруднительно именно своей крайней простотой и тривиальностью, ибо труднее всего заметить привычное. В самом деле, при переходе

  (1)

объем понятия числа  возрастает, а степень дифференциации смысла понятия уменьшается(Примечание). В дальнейшем мы полагаем, что в семантическом пространстве всегда существует нормировка

  (2),

т. е. существуют такие меры объема и степени дифференциации понятия, что их прямое произведение равно единице; NS = “number system”= =. По определению, естественно положить

  (3),

причем множество с мощностью, соответствующей , порождается системой, состоящей из множества с мощностью и диагональной процедуры над (2n+1)-адическими Канторовыми подмножествами этого последнего множества.

Далее, опять же по определению,

  (4).

Понятно также, что

  (5).

Замечание 1. С философской точки зрения, формулы (4) и (5) в совокупности означают, что пределом роста мощности числовых множеств является Непроявленное, т. е. Абсолют.

Исходя из мощности множества гипердействительных чисел, определенной Робинсоном [1] как , и принимая обобщенную континуум-гипотезу, для -окрестности действительного числа б логично положить:

  (6),

где И с индексами заменяют соответствующие интегралы, и при этом

  (7),

причем И0 соответствует интегралу по указанной в (6) сумме окрестностей действительного числа б на действительной числовой прямой, т. е. обычной действительной е-окрестности действительного числа б.

Формально экстраполируя (7), получаем

  (7а),

причем отрицательные индексы при а можно интерпретировать лишь единственным способом, а именно как индексы кардиналов, соответствующих отрицательным мощностям [8], и элементы, недостающие в а по сравнению с И, - как лакуны, обусловленные семантической нормировкой (1).

Механизмы, описанные в других наших заметках [5, 8, 9], обеспечивают замыкание шкал по типу редукции трансфинитности. Однако в этом процессе имеется «зазор» в 2 шага между шкалами И и а. Этот «зазор», несомненно, принципиально важен как для чистых математических построений, так и для физических приложений, и должен составить предмет отдельного исследования.

Примечание Этот аспект проблемы до сих пор не столько неизвестен, сколько хорошо забыт или плохо понят. В самом деле, операции А. Робинсона над пространством моделей изоморфны соответствующим операциям над семантическим пространством, просто описаны в иных терминах. Кроме того, родственные идеи развиты [10, 11] под названием «Принципа семантической границы». В данном случае семантические границы во фрактале числовых систем совпадают с границами структурных уровней фрактала.

Литература

ведение в теорию моделей и метаматематику алгебры.- Пер. с англ.- М.: Наука, 1967.- С. 321-353. , , Кутателадзе анализ.- Новосибирск: Изд-во Ин-та математики.- 2006.- 536 с. Успенский такое нестандартный анализ?- М.: Наука, 1987.- 128с. Новая Каббала http://biozot. boom. ru/mathem/mathem2.htm Орловский числовых множеств и конденсация чисел // В данном сборнике.- С.36. Davis G., Hu Thian-Yu The sructure of the intersection of two middle third Kantor sets // Publ. Math., Barc.- 1995.- V.39, No. 1.- P. 43 – 60. Игудесман размерность пересечения стандартных канторовых множеств // Известия ВУЗ.- Математика.- 2002.- № 11.- С. 32-35. Орловский с отрицательной мощностью // В данном сборнике.- С. . Орловский , время и редукция трансфинитности // В данном сборнике.- С. . Головинский анализа топологии коммутационных схем электрических сетей  // Электричество.- 2005.- № 3.- С. 10-18. Головинский операций в многоуровневых дискретных моделях электрических сетей // Электронное моделирование. Киев, ч. 1, 2006, № 6, с. 31-48; ч. 2, 2007, № 1, с. 19-36.

Semantic grounds of non-standard (hyper-real, infinitesimal) analysis

In the transition, volum of the “number” notion is on the increase but sense-differentiation range – on the decrease. There is a normal ratio in the semantic space:

,

i. e. there are such measures of volume and sence-differentiation range of a notion that their Cartesian product is equal to unit. (Here: NS = “number system”= =). By definition, it is natural to put

,

in this, a set with capacity equal to , is generated by a system consisting of a capacity set and a diagonal procedure over (2n+1)-adic Kantor’s subsets of the last-named set. Semantic lacunae are shown in the hyper-real vicinity of any real number.

О КОНЕЧНОЙ НОРМИРОВКЕ ТРАНСФИНИТНОСТИ

  Краеугольным камнем в вопросе о трансфинитных мощностях является, как известно, обобщенная континуум-гипотеза (ОКГ). Ее принятие или отвержение ведет к построению взаимно-дополнительных дескриптивных теорий множеств (ДТМ). Однако оба варианта ДТМ – с ОКГ и без нее – ведут к тому, что в философии издавна называется "дурной бесконечностью". Результат такого положения вещей – вековая дискуссия между классическим и конструктивным направлениями в математике о том, существует ли актуальная или всего лишь потенциальная бесконечность. Эти проблемы не являются чисто умозрительными. Они имеют прямую связь с топологической структурой реальной физической Вселенной.

  Не подлежит сомнению, что эта дискуссия оказалась весьма плодотворной, породив целый ряд новых направлений в математике – подобно тому как это имело место в истории последовательных приближений к доказательству Великой теоремы Ферма. Однако столь же несомненно, что "дурная бесконечность" – и это видно из самого ее названия – не  удовлетворяет совершенно обязательному для любых математических конструкций эстетическому критерию.

В дальнейшем принимается гипотеза, что суперпозиция мультипликативной и аддитивной композиций является не только необходимой, но и достаточной, т. е. а) не существует бинарных операций, порождающих композиции, отличные от аддитивной и мультипликативной (во всех возможных вариантах, например, некоммутативных и т. п.); б) каждая n-арная,  n > 2, операция представима в виде суперпозиции бинарных операций.

  Если трактовать математические конструкции как отражения некоторых материальных референтов, причина антиэстетического впечатления от "дурной бесконечности" становится очевидной. В природе – ни в микромире, ни в сколь угодно дальнем космосе, ни в человеческой психике – такой бесконечности не существует. Все природные системы организуются по принципу гиперцикла. Однако этот эмпирический факт естествознания не нашел никакого отражения в ДТМ. Сказанное относится и к построенной в нашей монографии [1, Приложение 5] конструкции фрактала числовых систем (ФЧС), несмотря на то, что идея топологии гиперцикла – одна из основных в указанной монографии.

  Однако конструкция ФЧС (который представляет собой бесконечную, в том числе трансфинитную, или конечную, в зависимости от дополнительных ограничений, систему числовых систем – от натуральных до гипердействительных, по Робинсону и далее, чисел) – предоставляет возможность гиперциклизации. Правда, не сама по себе, а в сочетании с другой основополагающей идеей той же книги – идеей односторонней поверхности как основы топологии пространства-времени. Для дальнейшего необходимо вспомнить, что отличительной чертой односторонней поверхности является то, что ее самотождественное преобразование определено как обход нормальным вектором на 720˚ (4π).

  Определение ФЧС вместе с постулатом об односторонней поверхности с необходимостью приводит к некоторому уравнению нормировки, определяющему гиперциклизацию системы трансфинитных мощностей и справедливому для каждой трансфинитной подпоследовательности уровней ФЧС. Такое уравнение должно представлять собой нормировку к величине 4π. Кроме того, оно должно учитывать все порядки возрастания трансфинитной величины ℵ. Примененная Кантором процедура (2ℵ…), очевидно, не удовлетворяет второму требованию, т. к., во-первых, определена только на множествах с мультипликативной композицией, и, во-вторых, даже на таких множествах определена и более сильная процедура, чем возведение в степень, – факториал (!). В первом приближении для случая мультипликативной композиции искомую нормировку можно представить в виде