Методические указания конспект лекций по дисциплине «Прикладная механика и основы конструирования» (стр. 10 )

Единица измерения [Ip]=[ρ2][A]=м4.

Полярный момент инерции – величина всегда положительная и не равная нулю.

Полярный момент инерции необходим при изучении деформаций кручения.

1. Круг диаметров d.

.

2. Кольцо размером D×d.

.

Центробежный момент инерции

Центробежным моментом инерции называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на расстояние до двух взаимно перпендикулярных осей.

Может быть положительным и отрицательным.

Осевой момент инерции

Осевым моментом инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат их расстояний до этой оси.

Обозначают I c индексом, соответствующей оси: ,        .

Осевой момент величина всегда положительная и неравная нулю.

Единица измерения: [I]=м4.

Ix+Iy=

Ix+Iy=Ip.

Сумма осевых моментов инерций относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерций относительно начала координат.

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то момент инерции сложной фигуры можно вычислять как сумму моментов инерции простых фигур.

Осевой момент инерции необходим при изучении теории изгиба.

Прямоугольник b×h - .

Круг диаметром d относительно диаметров x и y.

т. к. Ix+Iy=Ip=.

Ix=Iy=Ip/2=.

При повороте на произвольный угол Jp остается постоянной, а значение осевых моментов инерций изменяется, следовательно существует такой угол при котором Jх и Jy  имеют максимальное и минимальное значение.

Оси, относительно которых моменты инерций имеют максимальное и минимальное значения, называются главными осями инерции.

Момент инерции относительно главной оси называется главным моментом инерции.

Если главная ось проходит через центр тяжести фигуры, то она называется главной центральной осью, а момент инерции относительно этой оси – главным центральным моментом инерции.

Кручение вала

Кручение это нагружения бруса при котором во всех его поперечных сечениях из шести возможных внутренних силовых факторов действует только один Мкр.

Круглые брусья, работающие на кручение называются валами.

Теория кручения основана на следующих предположениях:

плоские поперечные сечения остаются плоскими радиусы сечений остаются прямыми расстояния между поперечными сечениями не изменяются.

Мы будем рассматривать деформацию кручения на примере цилиндра радиуса r, длиной l, жестко закрепленного с одной стороны.

Деформация кручения круглого цилиндра заключается в повороте поперечных сечений относительно друг друга вокруг оси кручения, причем углы поворота их прямо пропорциональны расстояниям от закрепленного сечения.

Угол φ  поворота концевого сечения называется полным углом закручивания цилиндра.

Относительным углом закручивания φ0 называется отношение полного угла закручивания φ  к расстоянию от данного сечения до заделки.

=const.

При кручении возникает деформация сдвига, но не за счет поступательного, а в результате вращательного движения одного поперечного сечения относительно другого.

При кручении в поперечных сечениях возникают только касательные внутренние силы, образующие крутящий момент.

Так как равномерно вращающийся вал находится в равновесии, поэтому внутренние силы, возникающие в поперечном сечении должны уравновесить внешние моменты, действующие на рассматриваемую часть бруса.

Для определения внутренних крутящих моментов в поперечных сечениях вала необходимо применить метод сечений. Вал рассекается на две части. Одна часть рассматривается, вторая отбрасывается.

Внутренний крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения.

.

Для наглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси бруса строят эпюры крутящих моментов,  которая дает возможность определить опасное сечение.

Опасными будут сечения на участке, где возникает наибольший крутящий момент.

Напряжения и деформации при кручении

При кручении возникают только касательные напряжения τ, перпендикулярные радиусу, соединяющему эти точки с осью кручения.

Абсолютный сдвиг a равен дуге aa1=rφ.

Величина абсолютного сдвига прямо пропорциональна расстоянию от оси кручения.

Относительный сдвиг γ==φ0ρ.

Из формулы видно, что относительный сдвиг пропорционален радиусу закручиваемого тела.

Применяя закон Гука при сдвиге: τ=Gγ=Gρφ0.

При ρ=0, τ=0, т. е. на оси кручения касательные напряжения равны нулю.

При ρ=r, τ=τmax, т. е. касательные напряжения достигают максимального значения у волокон, наиболее удаленных от оси кручения.

τmax=Gφ0r.

Эпюра распределения напряжений вдоль радиуса сечения имеет вид треугольника.

Из эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что внутренние волокна бруса испытывают небольшие напряжения, поэтому валы иногда делают пустотелыми, чем достигается значительный выигрыш в массе при незначительной потере прочности.

Выделим в сечении бесконечно малую площадь dA на расстоянии ρ от оси кручения.

dQ=τρdA.

Момент внутренних сил относительно оси кручения:

Mкр=.

Откуда относительный угол закручивания: .

Полный угол закручивания цилиндра длиной l: .

GIp – жесткость сечения при кручении.

Полный угол закручивания круглого цилиндра прямо пропорционален крутящему моменту, длине цилиндра и обратно пропорционален жесткости сечения при кручении.

Для цилиндрического бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, значением крутящего момента, полный угол закручивания равен алгебраической сумме углов закручивания отдельных участков:

φ=Σφi.

Формула для определения напряжений:

τρ=Gφ0ρ=

при ρ=r напряжения достигают максимального значения

τmax=.

- момент сопротивления кручению (или полярный момент сопротивления).

Момент сопротивления кручению равен отношению полярного момента инерции к радиусу сечения.

[Wp]=[Ip] / [r]=м3.

Для круга диаметров d.

Wp=

Кольцо размеров D×d.

.

По закону парности касательных напряжений, касательные напряжения возникают не только в поперечных, но и в продольных сечениях. В деревянных брусьях при кручении возникают трещины вдоль волокон.

Расчеты на прочность при кручении

Валы должны удовлетворять двум условиям:

1) Условие прочности при кручении: наибольше  возникающее в нем касательное напряжение не должно превышать допускаемое.

[τк]=(0.55…0.60)[σр],

здесь [σр] – допускаемое нормальное напряжение при растяжении.

2) Условие жесткости при кручении: угол закручивания 1 м длины вала не должен превышать определенной величины.

φ0=

Величина допускаемых углов закручивания зависит от назначения вала

[φ0]=0.25…1 .

При подборе сечений валов используют оба условия. При этом диаметр вала принимается равным большему из двух полученных значений, округленному в большую сторону до ближайшего стандартного.

Валы на чистое кручение никогда не работают, так как всегда кроме кручения испытывают изгиб от собственной силы тяжести, сил тяжести насаженных на него элементов передач и усилий в этих передачах. Однако даже при значительных изгибных нагрузках, при приближенных прикидочных расчетах валы считают работающими на чистое кручение, а действие изгиба косвенно учитывают путем понижения допускаемого напряжения [τ].